Informatikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Skaičiavimo sistemos

Pozicijų vertės
dvejetainė 2k, aštuntainė 8k, šešioliktainė 16k
Į dešimtainę
Σ dk·bk
Iš dešimtainės
dalykite iš pagrindo, liekanas skaitykite iš apačios į viršų
Šešioliktainė ↔ dvejetainė
vienas šešioliktainis skaitmuo = 4 bitai
Papildomasis kodas
invertuokite bitus ir pridėkite 1

Teiginių logika ir įrodymai

Teisingumo lentelės eilutės
2ⁿ
Implikacija
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikacijos neigimas
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Ekvivalencija
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgano dėsniai
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Distributyvumo dėsniai
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Kvantorių neigimas
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metodas

  1. Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
  2. Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
  3. Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
  4. Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
  5. Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.

Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Pagrindiniai elementai
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Būlio taisyklės
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgano dėsniai
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Karno žemėlapio tvarka
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ langelių grupė
netenka k kintamųjų
4 į 1 multiplekseris
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Trigeriai
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Skaitikliai
n bitų: 2ⁿ būsenų; mod-N: mažiausias n, kad 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Nuosekliojo veikimo (ripple) skaitiklis
fmax = 1/(n·tpd)
Žiediniai ir Johnsono skaitikliai
n ir 2n būsenų

Metodas

  1. Grandinei dirbkite nuo įėjimų iki išėjimo po vieną elementą ir užrašykite reikšmę ant kiekvieno laido arba užrašykite išraišką ir užpildykite teisingumo lentelę.
  2. Supaprastindami įrašykite vienetus (o nesvarbias reikšmes kaip X) į Karno žemėlapį su Grejaus kodo eilutėmis ir stulpeliais: 00, 01, 11, 10.
  3. Vienetus padenkite kuo mažiau ir kuo didesnių 1, 2, 4, 8 ar 16 langelių grupių, apsisukančių per kraštus; kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys iš kintamųjų, kurie joje nesikeičia. POS formai grupuokite nulius.
  4. Trigeriams ir skaitikliams skaitykite įėjimus kiekvienu aktyviu taktiniu frontu, užrašykite būseną po kiekvieno fronto ir atminkite, kad n bitų skaitiklis apsisuka po 2ⁿ būsenų.

Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Dalyba su liekana
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metodas

  1. Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
  2. Didžiausiam bendrajam dalikliui kartokite dalybą Euklido algoritmu; paskutinė nenulinė liekana yra DBD.
  3. Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
  4. Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
  5. Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

IPv4 potinkliai

Mazgai potinklyje
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
Bloko dydis
256 − (mask octet)
Tinklo adresas
IP AND kaukė
Transliacijos adresas
IP OR (NOT kaukė): visi mazgo bitai lygūs 1
Potinkliai iš n pasiskolintų bitų
2n

2Uždaviniai

1.Skaičiavimo sistemosVidutinis
8 bitų papildomasis kodas0−12806403201608040201

Nustatykite bitus, kad jie saugotų −78 8 bitų dvejetainiu papildomuoju kodu. Skaitant kaip skaičių be ženklo, kokia šablono reikšmė U?

N = −788 bit
U =
2.Skaičiavimo sistemosSunkus
spustelėkite bitus, kad juos nustatytumėte012806403201608040201

Nustatykite bitus pagal 8 bitų rezultatą 1101 0101 AND 0100 0100. Kokia rezultato reikšmė R dešimtainėje sistemoje?

1101 0101AND0100 0100
R =
3.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis
r ∨ (q → p)(r ∧ q) → p(r → p) ∧ (q → p)(r → p) ∨ (q → p)

Kuri formulė yra logiškai ekvivalenti (r ∨ q) → p? Spustelėkite ją.

(r ∨ q) → p
  1. 1r ∨ (q → p)
  2. 2(r ∧ q) → p
  3. 3(r → p) ∧ (q → p)
  4. 4(r → p) ∨ (q → p)
4.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus

Kiek iš 16 teisingumo lentelės eilučių daro (c → b) ∨ ¬((b ∧ a) ↔ d) teisingą? Pažymėkite šį skaičių N.

(c → b) ∨ ¬((b ∧ a) ↔ d)
N =
5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiVidutinis
ABCD000111100001111011111111

Šiame Karno žemėlapyje lygiai vienas vienetas neturi gretimo vieneto, todėl minimalioje SOP formoje lieka vieno langelio grupe (pilna keturių literalų minterma). Kaimynai per žemėlapio kraštus skaičiuojami. Spustelėkite tą langelį.

F = Σm(0, 2, 5, 6, 8, 9, 10, 11)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiSunkus
ABCD000111100001111010X1130204050716112X130150140809111010

Raskite minimalią F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 6, 11, 12) + d(1, 13) SOP formą, kur d žymi nesvarbias sąlygas. Kiek sandaugos narių N ji turi?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 6, 11, 12) + d(1, 13)
N =
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis

Raskite 58 atvirkštinį moduliu 91: skaičių x, kur 0 < x < 91 ir 58·x ≡ 1 (mod 91).

a = 58n = 91
58−1 mod 91 =
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus
mc = me​ mod n666m = cd​ mod n?(n, e) = (893, 13)d

RSA raktas naudoja p = 19, q = 47 ir e = 13. Iššifruokite šifrogramą c = 666: raskite pranešimą m.

p = 19q = 47e = 13c = 666
m =
9.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra amortizuotas laiko sudėtingumas pridedant elementą į dinaminio masyvo, kuris prisipildęs padvigubina savo talpą, galą?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
10.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Uždavinys yra NP-pilnas, jei jis:

  1. ANeišsprendžiamas
  2. BPriklauso NP ir kiekvienas NP uždavinys į jį redukuojamas per polinominį laiką
  3. CNepriklauso NP, bet yra sunkesnis už visus NP uždavinius, pvz., sustojimo problema
  4. DIšsprendžiamas per polinominį laiką
11.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek mazgų turi tobulas dvejetainis medis, kurio aukštis h (aukštis skaičiuojamas briaunomis)?

  1. Ah2
  2. B2h + 1
  3. C2h
  4. D2h+1 − 1
12.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl iš standartinio Bloomo filtro elementų negalima tiesiog pašalinti išvalant jų bitus?

  1. AŠalinimas padidintų klaidingai teigiamų atsakymų dažnį iki 100%
  2. BBloomo filtrai saugo visus elementus, o suhešavus jų vėl neįmanoma rasti
  3. CBloomo filtro bitų negalima keisti po sukūrimo
  4. DTie bitai gali priklausyti ir kitiems elementams, todėl atsirastų klaidingai neigiami atsakymai
13.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFGOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
14.Grafų teorijaSunkus
4181611203127ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =
15.Duomenų bazės ir SQLVidutinis

Kuri užklausa išvardija klientus, kurie niekada nepateikė užsakymo?

  1. ASELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NOT NULL
  2. BSELECT c.name FROM customers c INNER JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
  3. CSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id = NULL
  4. DSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
16.Duomenų bazės ir SQLSunkus

Lentelės enrolment(student_id, course_id, student_name, grade) raktas yra (student_id, course_id). Kurią normalinę formą ji pažeidžia?

  1. AAntrąją normalinę formą, nes student_name priklauso tik nuo student_id
  2. BTik trečiąją normalinę formą, nes grade priklauso nuo student_name
  3. CJokios, ji yra BCNF
  4. DPirmąją normalinę formą, nes stulpelyje grade nėra atominių reikšmių
17.Kompiuterių tinklaiVidutinis

Kuris iš šių yra privatus IPv4 adresų diapazonas?

  1. A192.168.0.0/16
  2. B200.1.1.0/24
  3. C8.8.8.0/24
  4. D100.0.0.0/8
18.Kompiuterių tinklaiSunkus

TCP perkrovos valdymo „lėto starto“ (slow start) fazė:

  1. AMažina perkrovos langą perpus per kiekvieną apsisukimą, kol aptinkamas paketo praradimas
  2. BEksponentiškai didina perkrovos langą, kol pasiekiama riba arba įvyksta praradimas
  3. CNaudojama tik UDP
  4. DIšlaiko langą fiksuotą – vieno segmento
19.IPv4 potinkliaiVidutinis
/24 → /2911111111111111111111111111111000tinklo bitaimazgo bitai

Tinklą 192.168.10.0/24 reikia padalyti į bent 30 vienodų potinklių. Jei pasiskolinsite kuo mažiau bitų, kiek naudojamų mazgų H turės kiekvienas potinklis?

192.168.10.0/2430 subnets
H =
20.IPv4 potinkliaiSunkus

Tinklas 192.168.43.0/24 VLSM būdu dalijamas šiems LAN: A: 20 mazgai, B: 4 mazgai, C: 59 mazgai, D: 10 mazgai, E: 8 mazgai. Potinkliai skiriami nuo .0 aukštyn, pirmiausia LAN su daugiausia mazgų, kiekvienam mažiausias tinkamas potinklis. Koks LAN B tinklo adreso ketvirtasis oktetas x?

A: 20B: 4C: 59D: 10E: 8
x =

3Tirpalai

1.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: U = 178

Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.

Invertuokite ir pridėkite vienetą

78 = 0100 1110
invertuota: 1011 0001
+1 → 1011 0010

Perskaitykite be ženklo

1011 0010₂ = 256 − 78 = 178

Atsakymas

U = 178
2.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: R = 68

Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.

Bitas po bito

AND duoda 1 tik ten, kur abu bitai yra 1.

1101 0101
AND 0100 0100
= 0100 0100

Rezultato reikšmė

0100 0100₂ = 68

Atsakymas

R = 68
3.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: (r → p) ∧ (q → p)

Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Dėsnis

(a ∨ b) → c reikalauja c, kai galioja a arba b: (a → c) ∧ (b → c).
(r ∨ q) → p ≡ (r → p) ∧ (q → p)

Patikrinkite teisingumo lentele

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1
p = 0, q = 1, r = 1: 0 | 1 0 0 0
p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 0 1 0 1
p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 1 1 0 1
p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1

Atsakymas

(r → p) ∧ (q → p)

Stulpeliai po brūkšniu yra variantai pateikta tvarka.

4.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: N = 14

Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.

Stulpeliai

c → b; b ∧ a; (b ∧ a) ↔ d; ¬((b ∧ a) ↔ d); (c → b) ∨ ¬((b ∧ a) ↔ d)

Skaidymas pagal a

a = 1: 7
a = 0: 7
N = 7 + 7 = 14

Atsakymas

N = 14
5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: AB = 01, CD = 01

Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.

Kiekvieno vieneto kaimynai

Vienetas su gretimu vienetu gali įeiti į dviejų ar daugiau langelių grupę.

m5: m4, m7, m1, m13 → 0
ABCD000111100001111011111111

Izoliuotas vienetas

m5 = A′BC′D → AB = 01, CD = 01

Atsakymas

AB = 01, CD = 01
6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: N = 4

Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.

Pagrindiniai implikantai

Didžiausios grupės, kurias galima sudaryti iš vienetų ir X.

B′CD, A′B′D, A′B′C′, ABC′, A′BCD′
ABCD000111100001111010X1130204050716112X130150140809111010

Minimalus dengimas

F = B′CD + A′B′C′ + ABC′ + A′BCD′
N = 4

Atsakymas

N = 4
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: 58−1 mod 91 = 11

Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Išplėstinis Euklido algoritmas

Kiekviena liekana r užrašoma kaip r ≡ t·58 (mod 91).

r = 91, t = 0
r = 58, q = 1, t = 1
r = 33, q = 1, t = −1
r = 25, q = 1, t = 2
r = 8, q = 3, t = −3
r = 1, q = 8, t = 11

Atvirkštinė

1 ≡ 11·58 (mod 91)
x = 11
patikra: 58·11 = 638 = 7·91 + 1

Atsakymas

58−1 mod 91 = 11
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: m = 286

Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.

Privatusis rodiklis

n = 893, φ(n) = 828
d = 13−1 mod 828 = 637

Iššifruokite kartotiniu kėlimu kvadratu

637 = 512 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1
6661 ≡ 666 (mod 893)
6662 ≡ 628 (mod 893)
6664 ≡ 571 (mod 893)
6668 ≡ 96 (mod 893)
66616 ≡ 286 (mod 893)
66632 ≡ 533 (mod 893)
66664 ≡ 115 (mod 893)
666128 ≡ 723 (mod 893)
666256 ≡ 324 (mod 893)
666512 ≡ 495 (mod 893)
666637 ≡ 666·571·96·286·533·115·495 ≡ 286 (mod 893)

Žinutė

m = 286
patikra: 28613 mod 893 = 666

Atsakymas

m = 286
9.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(1)

Kodėl tai yra atsakymas

Visi elementai kopijuojami tik pasiekus dvejeto laipsnius; paskirsčius šią kainą visiems pridėjimams, vidutinė vieno pridėjimo kaina yra pastovi.

Atsakymas

A · O(1)
10.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Priklauso NP ir kiekvienas NP uždavinys į jį redukuojamas per polinominį laiką

Kodėl tai yra atsakymas

NP-pilni uždaviniai yra sunkiausi NP klasėje; polinominis algoritmas vienam iš jų duotų polinominį algoritmą visai NP klasei.

Atsakymas

B · Priklauso NP ir kiekvienas NP uždavinys į jį redukuojamas per polinominį laiką
11.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · 2h+1 − 1

Kodėl tai yra atsakymas

Susumavus 1 + 2 + 4 + ... + 2h gaunama 2h+1 − 1; pavyzdžiui, kai aukštis 2, yra 7 mazgai.

Atsakymas

D · 2h+1 − 1
12.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Tie bitai gali priklausyti ir kitiems elementams, todėl atsirastų klaidingai neigiami atsakymai

Kodėl tai yra atsakymas

Išvalius bendrą bitą, kitas elementas atrodytų nesantis; skaičiuojantieji Bloomo filtrai vietoj bitų laiko skaitiklius, kad būtų galima šalinti.

Atsakymas

D · Tie bitai gali priklausyti ir kitiems elementams, todėl atsirastų klaidingai neigiami atsakymai
13.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Nelyginės viršūnės

A, B, C, E → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
14.Grafų teorija

Atsakymas: W = 42

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

DE (3): imti
AB (4): imti
BE (7): imti
BD (11): praleisti, uždaro ciklą
EF (12): imti
BC (16): imti

Bendras svoris

W = 3 + 4 + 7 + 12 + 16 = 42

Atsakymas

W = 42
15.Duomenų bazės ir SQL

Atsakymas: D · SELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL

Kodėl tai yra atsakymas

Kairysis sujungimas palieka visus klientus ir, nesant atitikmens, užsakymų stulpelius užpildo NULL; tada IS NULL išrenka būtent tuos klientus.

Atsakymas

D · SELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
16.Duomenų bazės ir SQL

Atsakymas: A · Antrąją normalinę formą, nes student_name priklauso tik nuo student_id

Kodėl tai yra atsakymas

student_name priklauso tik nuo rakto dalies – tai dalinė priklausomybė; jį perkėlus į studentų lentelę, 2NF pažeidimas ištaisomas.

Atsakymas

A · Antrąją normalinę formą, nes student_name priklauso tik nuo student_id
17.Kompiuterių tinklai

Atsakymas: A · 192.168.0.0/16

Kodėl tai yra atsakymas

Privatūs diapazonai yra 10.0.0.0/8, 172.16.0.0/12 ir 192.168.0.0/16; jie nemaršrutizuojami viešajame internete.

Atsakymas

A · 192.168.0.0/16
18.Kompiuterių tinklai

Atsakymas: B · Eksponentiškai didina perkrovos langą, kol pasiekiama riba arba įvyksta praradimas

Kodėl tai yra atsakymas

Lėtas startas eksponentiškai didina perkrovos langą; peržengus ribą, perkrovos vengimo fazė jį didina tiesiškai, o praradimas jį sumažina.

Atsakymas

B · Eksponentiškai didina perkrovos langą, kol pasiekiama riba arba įvyksta praradimas
19.IPv4 potinkliai

Atsakymas: H = 6

IPv4 potinkliai: adresas turi 32 bitus. Prefiksas /p nurodo, kiek pradinių bitų žymi tinklą; likę 32 − p bitai numeruoja mazgus. Potinklis turi 2³²⁻ᵖ adresų, bet pirmojo (tinklo adreso) ir paskutiniojo (transliacijos adreso) negalima priskirti mazgams, todėl telpa 2³²⁻ᵖ − 2 mazgai. Išimtys: /31 (dviejų taškų jungtis, RFC 3021) abu savo 2 adresus naudoja mazgams, o /32 yra vienas adresas (vienas mazgas arba grįžtamoji sąsaja).

Skolinami bitai

25 = 32 ≥ 30 → b = 5, /29

Mazgai potinklyje

23 − 2 = 6

Atsakymas

H = 6
20.IPv4 potinkliai

Atsakymas: x = 128

VLSM: kiekvienas LAN gauna mažiausią potinklį, kuriame 2ʰ − 2 ≥ jo mazgų skaičius, t. y. prefiksą 32 − h. Pirmiausia skiriant didžiausius potinklius, kiekvienas blokas lygiuojamas į savo dydžio kartotinį, todėl tinklų adresai gaunami sudedant bloko dydžius.

Kiekvieno LAN bloko dydis

C: 59 mazgai → 26 = 64 (/26)
A: 20 mazgai → 25 = 32 (/27)
D: 10 mazgai → 24 = 16 (/28)
E: 8 mazgai → 24 = 16 (/28)
B: 4 mazgai → 23 = 8 (/29)

Skirstymas, pradedant didžiausiu

C: .0 – .63
A: .64 – .95
D: .96 – .111
E: .112 – .127
B: .128 – .135

Atsakymas

x = 128

LAN B: 192.168.43.128/29.

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals