Informatikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Skaičiavimo sistemos

Pozicijų vertės
dvejetainė 2k, aštuntainė 8k, šešioliktainė 16k
Į dešimtainę
Σ dk·bk
Iš dešimtainės
dalykite iš pagrindo, liekanas skaitykite iš apačios į viršų
Šešioliktainė ↔ dvejetainė
vienas šešioliktainis skaitmuo = 4 bitai
Papildomasis kodas
invertuokite bitus ir pridėkite 1

Teiginių logika ir įrodymai

Teisingumo lentelės eilutės
2ⁿ
Implikacija
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikacijos neigimas
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Ekvivalencija
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgano dėsniai
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Distributyvumo dėsniai
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Kvantorių neigimas
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metodas

  1. Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
  2. Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
  3. Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
  4. Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
  5. Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.

Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Pagrindiniai elementai
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Būlio taisyklės
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgano dėsniai
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Karno žemėlapio tvarka
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ langelių grupė
netenka k kintamųjų
4 į 1 multiplekseris
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Trigeriai
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Skaitikliai
n bitų: 2ⁿ būsenų; mod-N: mažiausias n, kad 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Nuosekliojo veikimo (ripple) skaitiklis
fmax = 1/(n·tpd)
Žiediniai ir Johnsono skaitikliai
n ir 2n būsenų

Metodas

  1. Grandinei dirbkite nuo įėjimų iki išėjimo po vieną elementą ir užrašykite reikšmę ant kiekvieno laido arba užrašykite išraišką ir užpildykite teisingumo lentelę.
  2. Supaprastindami įrašykite vienetus (o nesvarbias reikšmes kaip X) į Karno žemėlapį su Grejaus kodo eilutėmis ir stulpeliais: 00, 01, 11, 10.
  3. Vienetus padenkite kuo mažiau ir kuo didesnių 1, 2, 4, 8 ar 16 langelių grupių, apsisukančių per kraštus; kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys iš kintamųjų, kurie joje nesikeičia. POS formai grupuokite nulius.
  4. Trigeriams ir skaitikliams skaitykite įėjimus kiekvienu aktyviu taktiniu frontu, užrašykite būseną po kiekvieno fronto ir atminkite, kad n bitų skaitiklis apsisuka po 2ⁿ būsenų.

Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Dalyba su liekana
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metodas

  1. Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
  2. Didžiausiam bendrajam dalikliui kartokite dalybą Euklido algoritmu; paskutinė nenulinė liekana yra DBD.
  3. Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
  4. Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
  5. Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

IPv4 potinkliai

Mazgai potinklyje
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
Bloko dydis
256 − (mask octet)
Tinklo adresas
IP AND kaukė
Transliacijos adresas
IP OR (NOT kaukė): visi mazgo bitai lygūs 1
Potinkliai iš n pasiskolintų bitų
2n

2Uždaviniai

1.Skaičiavimo sistemosVidutinis
8 bitų papildomasis kodas0−12806403201608040201

Nustatykite bitus, kad jie saugotų −104 8 bitų dvejetainiu papildomuoju kodu. Skaitant kaip skaičių be ženklo, kokia šablono reikšmė U?

N = −1048 bit
U =
2.Skaičiavimo sistemosSunkus
24 bit1 px1920 px1080 pxM = ? KiB

Nesuspaustas vaizdas yra 1920 × 1080 pikselių, 24 bitų pikseliui. Kiek atminties M jis užima, KiB (1 KiB = 1024 baitai)?

1920 × 1080 px24 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis
abc¬(c ∧ (b → a))¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a))¬(¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a)))111?110?101?100?011?010?001?000?

Kiek iš 8 teisingumo lentelės eilučių ¬(¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a))) yra teisinga? Pažymėkite šį skaičių N.

¬(¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a)))
N =
4.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus
∃x ∀y ¬R(x, y)∀x ∀y ¬R(x, y)∀x ∃y ¬R(x, y)∃x ∃y ¬R(x, y)

Kuris teiginys yra ekvivalentus ¬∃x ∀y R(x, y), kai neigimas perkeltas iki pat vidaus? Spustelėkite jį.

¬∃x ∀y R(x, y)
  1. 1∃x ∀y ¬R(x, y)
  2. 2∀x ∀y ¬R(x, y)
  3. 3∀x ∃y ¬R(x, y)
  4. 4∃x ∃y ¬R(x, y)
5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiVidutinis
ABCD000111100001111000011312140517061121131150141819111010

Karno žemėlapiu raskite minimalią F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15) sandaugų sumos (SOP) formą. Kiek sandaugos narių N ji turi?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15)
N =
6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiSunkus
ABCD00011110000111100001X30204150706112113115014X809X11X10

Funkcijai F(A, B, C, D) = Σm(5, 12, 13, 15) + d(3, 8, 10, 11), kur d žymi nesvarbias sąlygas, raskite esminių pagrindinių implikantų skaičių N.

F(A, B, C, D) = Σm(5, 12, 13, 15) + d(3, 8, 10, 11)
N =
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis

Išspręskite 23x ≡ 1 (mod 29). Pateikite sprendinį x, kur 0 < x < 29.

23x ≡ 1 (mod 29)
x =
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (247, 13)d = ?

RSA raktas naudoja pirminius skaičius p = 13 ir q = 19 bei viešąjį rodiklį e = 13. Raskite privatųjį rodiklį d (0 < d < φ(n)).

p = 13q = 19e = 13
d =
9.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra LSD pozicinio rikiavimo (radix sort) vykdymo laikas n sveikųjų skaičių, turinčių d skaitmenų k pagrindo sistemoje?

  1. AO(n²)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n log n)
10.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl Dijkstros algoritmas gali duoti neteisingus rezultatus, kai kai kurie briaunų svoriai neigiami?

  1. ATies kiekviena neigiama briauna jis patenka į begalinį ciklą
  2. BViršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią
  3. CJis veikia tik su nekryptiniais grafais
  4. DNeigiamų skaičių negalima saugoti prioritetinėje eilėje
11.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainio medžio šaknis yra 1, jos kairysis vaikas 2, dešinysis 3; mazgas 2 turi vaikus 4 (kairįjį) ir 5 (dešinįjį). Koks preorder apėjimas?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
12.Duomenų struktūrosSunkus

Kokią garantiją raudonai juodo medžio taisyklės suteikia medžio su n raktų aukščiui?

  1. AAukštis ne didesnis kaip log2 n + 1
  2. BAukštis ne didesnis kaip n / 2
  3. CAukštis ne didesnis kaip 2 log2(n + 1)
  4. DAukštis lygiai log2 n
13.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K6? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K6
H =
14.Grafų teorijaSunkus
34123885811ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =
15.Duomenų bazės ir SQLVidutinis

LEFT JOIN grąžina:

  1. AEilutes, neturinčias atitikmens nė vienoje lentelėje
  2. BTik visas dešiniosios lentelės eilutes
  3. CTik atitinkančias abiejų lentelių eilutes
  4. DVisas kairiosios lentelės eilutes ir atitinkančias dešiniosios lentelės eilutes, o ten, kur atitikmens nėra, – NULL
16.Duomenų bazės ir SQLSunkus

Kaip, taikant daugiaversį lygiagretumo valdymą (MVCC), skaitytojai gali neblokuoti rašytojų?

  1. ASkaitytojai visada laukia, kol visi rašytojai patvirtins
  2. BSkaitytojai tiesiogiai skaito nepatvirtintus duomenis
  3. CSkaitytojai mato nuoseklią patvirtintų eilučių versijų momentinę kopiją, o rašytojai kuria naujas versijas
  4. DRašyti neleidžiama, kol aktyvus bent vienas skaitytojas
17.Kompiuterių tinklaiVidutinis

Kurio tipo DNS įrašas susieja mazgo vardą su IPv6 adresu?

  1. AAAAA
  2. BMX
  3. CCNAME
  4. DA
18.Kompiuterių tinklaiSunkus

Kokia pagrindinė nuolatinių ryšių (keep-alive) nauda HTTP/1,1?

  1. AKelios užklausos pakartotinai naudoja vieną TCP ryšį, išvengiant pasikartojančių rankos paspaudimų
  2. BAtsakymai viename sraute gali ateiti bet kokia tvarka, todėl lėti atsakymai nestabdo kitų
  3. CServeris gali siųsti atnaujinimus per UDP
  4. DRyšys lieka šifruotas be TLS
19.IPv4 potinkliaiVidutinis
/24 → /2711111111111111111111111111100000tinklo bitaimazgo bitai

Tinklas 10.29.32.0/24 padalytas į vienodus potinklius su prefiksu /27. Kiek yra potinklių N?

10.29.32.0/24/27
N =
20.IPv4 potinkliaiSunkus

Tinklas 192.168.207.0/24 VLSM būdu dalijamas šiems LAN: A: 62 mazgai, B: 53 mazgai, C: 30 mazgai, D: 14 mazgai. Potinkliai skiriami nuo .0 aukštyn, pirmiausia LAN su daugiausia mazgų, kiekvienam mažiausias tinkamas potinklis. Koks LAN B tinklo adreso ketvirtasis oktetas x?

A: 62B: 53C: 30D: 14
x =

3Tirpalai

1.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: U = 152

Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.

Invertuokite ir pridėkite vienetą

104 = 0110 1000
invertuota: 1001 0111
+1 → 1001 1000

Perskaitykite be ženklo

1001 1000₂ = 256 − 104 = 152

Atsakymas

U = 152
2.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: M = 6075 KiB

Pozicinės skaičiavimo sistemos: kiekvienas skaitmuo vertas savo reikšmės, padaugintos iš pagrindo laipsnio. Dvejetainėje sistemoje pozicijos vertos 1, 2, 4, 8, 16, …, šešioliktainėje 1, 16, 256, …, o A–F reiškia 10–15. 8 bitų papildomajame kode kairysis bitas vertas −128 vietoj +128; taip saugomi neigiami skaičiai.

Bitai ir baitai

1920·1080·24 = 49766400 bit = 6220800 B

Paverskite į KiB

6220800/1024 = 6075 KiB

Atsakymas

M = 6075 KiB
3.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: N = 2

Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.

Teisingumo lentelė eilutė po eilutės

a = 1, b = 1, c = 1: ¬b = 0, a → ¬b = 0, ¬(a → ¬b) = 1, b → a = 1, c ∧ (b → a) = 1, ¬(c ∧ (b → a)) = 0, ¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a)) = 1, ¬(¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a))) = 0
a = 1, b = 1, c = 0: ¬b = 0, a → ¬b = 0, ¬(a → ¬b) = 1, b → a = 1, c ∧ (b → a) = 0, ¬(c ∧ (b → a)) = 1, ¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a)) = 1, ¬(¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a))) = 0
a = 1, b = 0, c = 1: ¬b = 1, a → ¬b = 1, ¬(a → ¬b) = 0, b → a = 1, c ∧ (b → a) = 1, ¬(c ∧ (b → a)) = 0, ¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a)) = 0, ¬(¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a))) = 1
a = 1, b = 0, c = 0: ¬b = 1, a → ¬b = 1, ¬(a → ¬b) = 0, b → a = 1, c ∧ (b → a) = 0, ¬(c ∧ (b → a)) = 1, ¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a)) = 1, ¬(¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a))) = 0
a = 0, b = 1, c = 1: ¬b = 0, a → ¬b = 1, ¬(a → ¬b) = 0, b → a = 0, c ∧ (b → a) = 0, ¬(c ∧ (b → a)) = 1, ¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a)) = 1, ¬(¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a))) = 0
a = 0, b = 1, c = 0: ¬b = 0, a → ¬b = 1, ¬(a → ¬b) = 0, b → a = 0, c ∧ (b → a) = 0, ¬(c ∧ (b → a)) = 1, ¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a)) = 1, ¬(¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a))) = 0
a = 0, b = 0, c = 1: ¬b = 1, a → ¬b = 1, ¬(a → ¬b) = 0, b → a = 1, c ∧ (b → a) = 1, ¬(c ∧ (b → a)) = 0, ¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a)) = 0, ¬(¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a))) = 1
a = 0, b = 0, c = 0: ¬b = 1, a → ¬b = 1, ¬(a → ¬b) = 0, b → a = 1, c ∧ (b → a) = 0, ¬(c ∧ (b → a)) = 1, ¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a)) = 1, ¬(¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a))) = 0

Suskaičiuokite eilutes su reikšme 1

¬(¬(a → ¬b) ∨ ¬(c ∧ (b → a))): 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0
N = 2

Atsakymas

N = 2
4.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: ∀x ∃y ¬R(x, y)

Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.

Perkelkite neigimą į vidų

¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)

Atsakymas

∀x ∃y ¬R(x, y)

Kiti variantai arba palieka kvantorių nepakeistą, arba keičia kvantorių tvarką, arba netinkamai neigia vidinę formulę.

5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: N = 4

Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.

ABCD000111100001111000011312140517061121131150141819111010

Sugrupuokite vienetus

Kiekviena grupė yra 2ᵏ langelių stačiakampis; kraštiniai langeliai yra priešingo krašto langelių kaimynai.

CD
BC′D′
AC′
A′B′C

Minimali SOP forma

F = CD + BC′D′ + AC′ + A′B′C
N = 4

Atsakymas

N = 4
6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: N = 1

Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.

Pagrindiniai implikantai

Didžiausios grupės, kurias galima sudaryti iš vienetų ir X.

BC′D, AC′D′, ACD, ABD, ABC′
ABCD00011110000111100001X30204150706112113115014X809X11X10

Esminiai pagrindiniai implikantai

BC′D
N = 1

Atsakymas

N = 1
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: x = 24

Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

23 atvirkštinis

r = 29, t = 0
r = 23, q = 1, t = 1
r = 6, q = 3, t = −1
r = 5, q = 1, t = 4
r = 1, q = 5, t = −5
23−1 ≡ 24 (mod 29)

Išspręskite

x ≡ 24·1 = 24 ≡ 24 (mod 29)
patikra: 23·24 = 552 ≡ 1 (mod 29)

Atsakymas

x = 24
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: d = 133

Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.

Modulis ir Oilerio funkcija

n = 13·19 = 247
φ(n) = 12·18 = 216

Išplėstinis Euklido algoritmas

r = 216, t = 0
r = 13, q = 16, t = 1
r = 8, q = 1, t = −16
r = 5, q = 1, t = 17
r = 3, q = 1, t = −33
r = 2, q = 1, t = 50
r = 1, q = 2, t = −83

Privatusis rodiklis

d = 133
patikra: 13·133 = 1729 = 8·216 + 1

Atsakymas

d = 133
9.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(d(n + k))

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas iš d perėjimų yra rikiavimas skaičiavimu, kainuojantis O(n + k), todėl esant fiksuotiems d ir k bendras laikas tiesinis n atžvilgiu.

Atsakymas

B · O(d(n + k))
10.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Viršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią

Kodėl tai yra atsakymas

Godusis žingsnis remiasi neneigiamais svoriais, kad išimti atstumai būtų galutiniai; kai svoriai gali būti neigiami, naudojamas Bellmano–Fordo algoritmas.

Atsakymas

B · Viršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią
11.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · 1 2 4 5 3

Kodėl tai yra atsakymas

Preorder aplanko 1, tada jo kairįjį pomedį (2, 4, 5), tada 3; kiti variantai yra inorder, postorder ir apėjimas lygmenimis.

Atsakymas

C · 1 2 4 5 3
12.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Aukštis ne didesnis kaip 2 log2(n + 1)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekviename kelyje yra vienodas juodų mazgų skaičius, o raudoni mazgai negali būti gretimi, todėl ilgiausias kelias daugiausia dvigubai ilgesnis už trumpiausią, ir aukštis yra O(log n).

Atsakymas

C · Aukštis ne didesnis kaip 2 log2(n + 1)
13.Grafų teorija

Atsakymas: H = 60

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Atsakymas

H = 60
14.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 15

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 3, C: 4
B (3): D: 15
C (4): E: 7, G: 9
E (7): F: 15
G (9)
D (15)
F (15)

Trumpiausias kelias

A → C → E → F
d(F) = 15

Atsakymas

d(F) = 15
15.Duomenų bazės ir SQL

Atsakymas: D · Visas kairiosios lentelės eilutes ir atitinkančias dešiniosios lentelės eilutes, o ten, kur atitikmens nėra, – NULL

Kodėl tai yra atsakymas

Kairysis išorinis sujungimas palieka kiekvieną kairiosios lentelės eilutę; neatitikę dešiniosios lentelės stulpeliai užpildomi NULL.

Atsakymas

D · Visas kairiosios lentelės eilutes ir atitinkančias dešiniosios lentelės eilutes, o ten, kur atitikmens nėra, – NULL
16.Duomenų bazės ir SQL

Atsakymas: C · Skaitytojai mato nuoseklią patvirtintų eilučių versijų momentinę kopiją, o rašytojai kuria naujas versijas

Kodėl tai yra atsakymas

MVCC išlaiko senas eilučių versijas, kad skaitytojas matytų duomenis, kokie buvo jo momentinėje kopijoje, o rašytojas sukuria naują versiją, užuot perrašęs vietoje.

Atsakymas

C · Skaitytojai mato nuoseklią patvirtintų eilučių versijų momentinę kopiją, o rašytojai kuria naujas versijas
17.Kompiuterių tinklai

Atsakymas: A · AAAA

Kodėl tai yra atsakymas

A įraše yra IPv4 adresas, AAAA – IPv6 adresas. MX nurodo pašto serverius, o CNAME suteikia pseudonimą.

Atsakymas

A · AAAA
18.Kompiuterių tinklai

Atsakymas: A · Kelios užklausos pakartotinai naudoja vieną TCP ryšį, išvengiant pasikartojančių rankos paspaudimų

Kodėl tai yra atsakymas

Pakartotinai naudojant ryšį, kiekvienam objektui nereikia naujo rankos paspaudimo ir lėto starto, todėl puslapiai su daug išteklių įkeliami greičiau.

Atsakymas

A · Kelios užklausos pakartotinai naudoja vieną TCP ryšį, išvengiant pasikartojančių rankos paspaudimų
19.IPv4 potinkliai

Atsakymas: N = 8

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

Pasiskolinti bitai

27 − 24 = 3

Potinklių skaičius

N = 23 = 8

Atsakymas

N = 8

Kiekviename /27 potinklyje yra 25 − 2 = 30 naudojamų mazgų adresų.

20.IPv4 potinkliai

Atsakymas: x = 64

VLSM: kiekvienas LAN gauna mažiausią potinklį, kuriame 2ʰ − 2 ≥ jo mazgų skaičius, t. y. prefiksą 32 − h. Pirmiausia skiriant didžiausius potinklius, kiekvienas blokas lygiuojamas į savo dydžio kartotinį, todėl tinklų adresai gaunami sudedant bloko dydžius.

Kiekvieno LAN bloko dydis

A: 62 mazgai → 26 = 64 (/26)
B: 53 mazgai → 26 = 64 (/26)
C: 30 mazgai → 25 = 32 (/27)
D: 14 mazgai → 24 = 16 (/28)

Skirstymas, pradedant didžiausiu

A: .0 – .63
B: .64 – .127
C: .128 – .159
D: .160 – .175

Atsakymas

x = 64

LAN B: 192.168.207.64/26.

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals