Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
8 bitų seka 1100 1101 saugo sveikąjį skaičių su ženklu papildomajame kode. Kokia jo reikšmė N dešimtainėje sistemoje?
Nustatykite bitus pagal 8 bitų rezultatą 1101 1011 << 1. Kokia rezultato reikšmė R dešimtainėje sistemoje?
Ar (b ↔ a) ∧ (b ↔ ¬a) yra tautologija, prieštara ar kontingencija? Spustelėkite savo atsakymą.
Kiek iš 16 teisingumo lentelės eilučių daro (q → s) ↔ (q ∧ (¬p ∧ ¬r)) teisingą? Pažymėkite šį skaičių N.
Šiame Karno žemėlapyje lygiai vienas vienetas neturi gretimo vieneto, todėl minimalioje SOP formoje lieka vieno langelio grupe (pilna keturių literalų minterma). Kaimynai per žemėlapio kraštus skaičiuojami. Spustelėkite tą langelį.
Raskite minimalią F(A, B, C, D) = Σm(2, 5, 6, 10, 14, 15) + d(3, 7) SOP formą, kur d žymi nesvarbias sąlygas. Kiek sandaugos narių N ji turi?
Išspręskite 47x ≡ 50 (mod 52). Pateikite sprendinį x, kur 0 < x < 52.
Užšifruokite pranešimą m = 418 RSA viešuoju raktu (n, e) = (1271, 7). Raskite šifrogramą c.
Koks yra dviejų n × n matricų daugybos standartiniu trigubu ciklu laiko sudėtingumas?
Trumpiausius paprastuosius kelius galima rasti per polinominį laiką. Kas žinoma apie ilgiausio paprastojo kelio tarp dviejų viršūnių paiešką bendrajame grafe?
Kodėl masyvo apėjimas praktikoje dažnai daug greitesnis nei tokio pat ilgio susietojo sąrašo apėjimas?
Segmentų medis (segment tree) paprastai naudojamas:
Jungus grafas turi 15 viršūnių ir 15 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?
Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).
Kuri užklausa grąžina kiekvieno kliento užsakymų skaičių?
Kada R skaidymas į R1 ir R2 garantuotai yra be nuostolių?
Kokią CIDR žymėjimo reikšmę atitinka potinklio kaukė 255.255.255.0?
Kaip turinio pristatymo tinklas (CDN) daugiausia pagerina žiniatinklio našumą?
Tinklas 192.168.94.0/24 padalytas į /26 potinklius, sunumeruotus 1, 2, 3, … nuo mažiausio adreso (1 potinklis prasideda nuo .0). Koks potinklio Nr. 2 transliacijos adreso ketvirtasis oktetas x?
Mazgo adresas yra 172.20.149.53/23. Koks jo potinklio transliacijos adreso trečiasis oktetas x?
Atsakymas: N = −51
Pozicinės skaičiavimo sistemos: kiekvienas skaitmuo vertas savo reikšmės, padaugintos iš pagrindo laipsnio. Dvejetainėje sistemoje pozicijos vertos 1, 2, 4, 8, 16, …, šešioliktainėje 1, 16, 256, …, o A–F reiškia 10–15. 8 bitų papildomajame kode kairysis bitas vertas −128 vietoj +128; taip saugomi neigiami skaičiai.
Kiti bitai išlaiko įprastas teigiamas vertes.
Atsakymas: R = 182
Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.
Postūmis kairėn 1 perkelia kiekvieną bitą 1 pozicijomis į kairę; bitai, iškritę iš kairiojo galo, prarandami, o dešinėje įeina nuliai.
Atsakymas: prieštara
Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Atsakymas: N = 4
Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.
Atsakymas: AB = 10, CD = 10
Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.
Vienetas su gretimu vienetu gali įeiti į dviejų ar daugiau langelių grupę.
Atsakymas: N = 3
Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.
Didžiausios grupės, kurias galima sudaryti iš vienetų ir X.
Atsakymas: x = 42
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Atsakymas: c = 1232
Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.
Atsakymas: A · O(n³)
Yra n² elementų, ir kiekvienam reikia n daugybų, todėl gaunama n³ operacijų.
Atsakymas: D · Tai NP-sunkus uždavinys
V − 1 ilgio ilgiausias paprastasis kelias yra Hamiltono kelias, o tai NP-pilnas uždavinys; tačiau kryptiniuose beciklius grafuose jis išsprendžiamas per tiesinį laiką.
Atsakymas: A · Masyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)
Vientisa atmintis užtikrina gerą kreipčių lokalumą, o susieti mazgai gali būti išbarstyti ir sukelti daug podėlio praleidimų.
Atsakymas: D · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)
Segmentų medis saugo intervalų agregatus ir palaiko intervalų užklausas bei taškinius atnaujinimus per O(log n) laiko.
Atsakymas: k = 1
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Atsakymas: d(F) = 10
Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.
Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.
Atsakymas: C · SELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id
GROUP BY customer_id sukuria po vieną grupę kiekvienam klientui, o COUNT(*) suskaičiuoja kiekvienos grupės eilutes.
Atsakymas: C · Kai bendri R1 ir R2 atributai sudaro R1 arba R2 superraktą
Jei bendri atributai apibrėžia visus R1 ar R2 atributus, juos sujungus atgal gaunamos lygiai pradinės eilutės ir jokių netikrų kortežų.
Atsakymas: A · /24
Trys oktetai po 255 sudaro 24 vienetinius bitus, todėl 255.255.255.0 = /24.
Atsakymas: A · Pateikia podėlyje laikomą turinį iš arti naudotojų esančių serverių
CDN turinio kopijas išdėsto daugelyje kraštinių vietų ir nukreipia naudotojus, dažnai per DNS, į artimą serverį. Taip sumažinamas vėlinimas ir pradinio serverio apkrova.
Atsakymas: x = 127
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
Atsakymas: x = 149
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals