Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
Nustatykite bitus, kad jie saugotų −104 8 bitų dvejetainiu papildomuoju kodu. Skaitant kaip skaičių be ženklo, kokia šablono reikšmė U?
Nesuspaustas vaizdas yra 800 × 600 pikselių, 32 bitų pikseliui. Kiek atminties M jis užima, KiB (1 KiB = 1024 baitai)?
Kuri formulė yra logiškai ekvivalenti a ∨ (b ∧ c)? Spustelėkite ją.
Kuris teiginys yra ekvivalentus ¬∃x (A(x) ∧ B(x)), kai neigimas perkeltas iki pat vidaus? Spustelėkite jį.
Karno žemėlapiu raskite minimalią F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 5) sandaugų sumos (SOP) formą. Kiek sandaugos narių N ji turi?
Raskite minimalią F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 7, 9, 13, 14, 15) + d(0, 3, 8, 12) SOP formą, kur d žymi nesvarbias sąlygas. Kiek literalų L ji turi?
Raskite Oilerio funkciją φ(245), t. y. sveikųjų skaičių nuo 1 iki 245, tarpusavyje pirminių su 245, skaičių.
41 yra pirminis skaičius. Pasinaudokite mažąja Ferma teorema ir raskite 2260253 mod 41.
Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = 2T(n/2) + O(1) sprendinys?
Kuris rėžis teisingas log(n!)?
Dvejetainio paieškos medžio mazgas turi dešinįjį pomedį. Kur yra jo in-order įpėdinis?
DPM, kurio šaknis 50, kairysis pomedis 30 (vaikai 20, 40) ir dešinysis pomedis 70 (vaikai 60, 80), šaknis pašalinama naudojant in-order įpėdinį. Kuris raktas tampa nauja šaknimi?
Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K4? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.
Dijkstros algoritmas vykdomas nuo A. Spustelėkite viršūnę, užfiksuojamą (padaromą galutine) 6 etape; pats A yra 1 etapas.
Ką SELECT COALESCE(phone, 'unknown') FROM customers grąžina klientui, kurio phone yra NULL?
Įverčiai yra 90, 90 ir 80. Kokias reikšmes duoda RANK() OVER (ORDER BY score DESC)?
NAT (tinklo adresų transliavimas) daugiausia naudojamas tam, kad:
Kuo fragmentacija IPv6 skiriasi nuo IPv4?
Potinklio kaukė yra 255.255.255.192. Kiek naudojamų mazgų adresų H jame yra?
Mazgo adresas yra 10.20.105.252/28. Koks yra jo potinklio transliacijos adreso paskutinis skaičius (ketvirtasis oktetas) x?
Atsakymas: U = 152
Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.
Atsakymas: M = 1875 KiB
Pozicinės skaičiavimo sistemos: kiekvienas skaitmuo vertas savo reikšmės, padaugintos iš pagrindo laipsnio. Dvejetainėje sistemoje pozicijos vertos 1, 2, 4, 8, 16, …, šešioliktainėje 1, 16, 256, …, o A–F reiškia 10–15. 8 bitų papildomajame kode kairysis bitas vertas −128 vietoj +128; taip saugomi neigiami skaičiai.
Atsakymas: (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Stulpeliai po brūkšniu yra variantai pateikta tvarka.
Atsakymas: ∀x (A(x) → ¬B(x))
Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.
Kiti variantai arba palieka kvantorių nepakeistą, arba keičia kvantorių tvarką, arba netinkamai neigia vidinę formulę.
Atsakymas: N = 3
Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.
Kiekviena grupė yra 2ᵏ langelių stačiakampis; kraštiniai langeliai yra priešingo krašto langelių kaimynai.
Atsakymas: L = 11
Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.
Didžiausios grupės, kurias galima sudaryti iš vienetų ir X.
Egzistuoja kitas to paties dydžio grupavimas; jis turi tiek pat narių ir literalų.
Atsakymas: φ(245) = 168
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Atsakymas: 2260253 mod 41 = 26
Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.
Atsakymas: A · O(n)
Pagal pagrindinę teoremą (master theorem) nlog₂ 2 = n dominuoja pastovų darbą, todėl T(n) = Θ(n), kaip ieškant maksimumo dalijant pusiau.
Atsakymas: C · Θ(n log n)
log(n!) ≤ n log n, o didžiausi n / 2 daugiklių duoda log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); todėl rikiavimui palyginimais reikia Ω(n log n).
Atsakymas: A · Kairiausias jo dešiniojo pomedžio mazgas
Visi didesni, mazgui artimi raktai yra jo dešiniajame pomedyje, o mažiausias iš jų yra ten esantis kairiausias mazgas.
Atsakymas: A · 60
Kairiausias dešiniojo pomedžio mazgas yra 60, todėl 60 pakeičia 50, o jo senoji vieta pašalinama; naudojant pirmtaką būtų gauta 40.
Atsakymas: H = 3
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Atsakymas: E
Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.
Atsakymas: A · 'unknown'
COALESCE tikrina argumentus iš kairės į dešinę ir grąžina pirmąjį, kuris nėra NULL, šiuo atveju 'unknown'.
Atsakymas: D · 1, 1, 3
RANK lygioms eilutėms suteikia tą patį rangą ir praleidžia kitus skaičius (1, 1, 3); DENSE_RANK duotų 1, 1, 2.
Atsakymas: D · Daug įrenginių su privačiais adresais galėtų dalytis vienu viešuoju IP adresu
NAT perrašo adresus (ir prievadus), kad privatūs tinklai galėtų pasiekti internetą per mažesnį viešųjų adresų skaičių.
Atsakymas: A · Maršrutizatoriai niekada nefragmentuoja IPv6 paketų; tai gali daryti tik šaltinis, naudodamas kelio MTU aptikimą
IPv6 maršrutizatorius per didelį paketą atmeta ir grąžina ICMPv6 Packet Too Big. Tada šaltinis siunčia mažesnius paketus arba naudoja fragmento išplėtimo antraštę.
Atsakymas: H = 62
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
Atsakymas: x = 255
IPv4 potinkliai: adresas turi 32 bitus. Prefiksas /p nurodo, kiek pradinių bitų žymi tinklą; likę 32 − p bitai numeruoja mazgus. Potinklis turi 2³²⁻ᵖ adresų, bet pirmojo (tinklo adreso) ir paskutiniojo (transliacijos adreso) negalima priskirti mazgams, todėl telpa 2³²⁻ᵖ − 2 mazgai. Išimtys: /31 (dviejų taškų jungtis, RFC 3021) abu savo 2 adresus naudoja mazgams, o /32 yra vienas adresas (vienas mazgas arba grįžtamoji sąsaja).
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals