Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
8 bitų seka 1001 1011 saugo sveikąjį skaičių su ženklu papildomajame kode. Kokia jo reikšmė N dešimtainėje sistemoje?
Koks yra mažiausias (labiausiai neigiamas) sveikasis skaičius N, kurį galima užrašyti 32 bitų papildomuoju kodu?
Norite įrodyti (q ∨ p) → ¬r kontrapozicija. Kurią implikaciją įrodote vietoj jos? Spustelėkite ją.
Duotos prielaidos r → p; r. Kokia išvada iš jų išplaukia? Spustelėkite ją.
Karno žemėlapiu raskite minimalią F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 14) sandaugų sumos (SOP) formą. Kiek iš viso literalų L ji turi (su brūkšneliu žymimas kintamasis skaičiuojamas kaip vienas literalas)?
Sinchroninis mod-12 skaitiklis skaičiuoja 0, 1, …, 11 ir tada grįžta į 0. Jis pradeda nuo 10. Kokį skaičių Q (dešimtainiu pavidalu) jis rodo po 13 taktinių impulsų?
Raskite 8 atvirkštinį moduliu 61: skaičių x, kur 0 < x < 61 ir 8·x ≡ 1 (mod 61).
47 yra pirminis skaičius. Pasinaudokite mažąja Ferma teorema ir raskite 359374 mod 47.
Greitasis rikiavimas visada kaip atraminį elementą naudoja pirmąjį elementą. Su kokia įvestimi jis elgiasi blogiausiai?
Kuris teiginys apie k-ojo mažiausio nesurikiuoto masyvo elemento išrinkimą teisingas?
Kelių tinklas turi 100,000 sankryžų, kurių kiekviena sujungta su maždaug 4 kitomis. Kuris vaizdavimas tinkamiausias?
Kokią garantiją raudonai juodo medžio taisyklės suteikia medžio su n raktų aukščiui?
Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K4? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.
Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės D. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 2.
Kuri užklausa išvardija klientus, kurie niekada nepateikė užsakymo?
Ką grąžina SELECT name, dept, AVG(salary) OVER (PARTITION BY dept) FROM emp?
Kokia įprasta pranešimų seka, kai klientas gauna adresą iš DHCP?
Serverio privatusis raktas bus pavogtas po metų. Kuri TLS savybė apsaugo šiandien įrašytus seansus?
Tinklą 192.168.10.0/24 reikia padalyti į bent 8 vienodų potinklių. Jei pasiskolinsite kuo mažiau bitų, kiek naudojamų mazgų H turės kiekvienas potinklis?
Tinklas 192.168.223.0/24 VLSM būdu dalijamas šiems LAN: A: 4 mazgai, B: 18 mazgai, C: 7 mazgai, D: 5 mazgai, E: 17 mazgai. Potinkliai skiriami nuo .0 aukštyn, pirmiausia LAN su daugiausia mazgų, kiekvienam mažiausias tinkamas potinklis. Koks LAN E tinklo adreso ketvirtasis oktetas x?
Atsakymas: N = −101
Pozicinės skaičiavimo sistemos: kiekvienas skaitmuo vertas savo reikšmės, padaugintos iš pagrindo laipsnio. Dvejetainėje sistemoje pozicijos vertos 1, 2, 4, 8, 16, …, šešioliktainėje 1, 16, 256, …, o A–F reiškia 10–15. 8 bitų papildomajame kode kairysis bitas vertas −128 vietoj +128; taip saugomi neigiami skaičiai.
Kiti bitai išlaiko įprastas teigiamas vertes.
Atsakymas: N = −2,147 × 10⁹
Pozicinės skaičiavimo sistemos: kiekvienas skaitmuo vertas savo reikšmės, padaugintos iš pagrindo laipsnio. Dvejetainėje sistemoje pozicijos vertos 1, 2, 4, 8, 16, …, šešioliktainėje 1, 16, 256, …, o A–F reiškia 10–15. 8 bitų papildomajame kode kairysis bitas vertas −128 vietoj +128; taip saugomi neigiami skaičiai.
Atsakymas: ¬¬r → ¬(q ∨ p)
Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Kontrapozicija yra ekvivalenti pradiniam teiginiui, todėl ją įrodžius įrodomas ir teiginys.
Atsakymas: p
Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.
Atsakymas: L = 15
Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.
Kiekviena grupė yra 2ᵏ langelių stačiakampis; kraštiniai langeliai yra priešingo krašto langelių kaimynai.
Atsakymas: Q = 11
Trigeriai ir skaitikliai: trigeris keičiasi tik aktyviu taktinio signalo frontu. D nukopijuoja savo įėjimą (Q⁺ = D); T perjungia, kai T = 1; JK išlaiko esant 00, nustato į 0 esant 01, nustato į 1 esant 10 ir perjungia esant 11. n bitų dvejetainis skaitiklis turi 2ⁿ būsenų ir skaičiuoja moduliu 2ⁿ; mod-N skaitiklis skaičiuoja 0, 1, …, N − 1 ir grįžta į 0, jam reikia mažiausiai n trigerių, kad 2ⁿ ≥ N. Kiekviena nuosekliojo (ripple) skaitiklio pakopa perpus sumažina dažnį, todėl paskutinis mod-N skaitiklio išėjimas veikia fclk/N dažniu. n trigerių Johnsono skaitiklis turi 2n būsenų, žiedinis – n.
Kas 12 impulsų skaitiklis grįžta į tą pačią būseną.
Atsakymas: 8−1 mod 61 = 23
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Kiekviena liekana r užrašoma kaip r ≡ t·8 (mod 61).
Atsakymas: 359374 mod 47 = 4
Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.
Atsakymas: B · Su jau surikiuotu masyvu
Surikiuotoje įvestyje atraminis elementas visada yra minimumas, todėl viena pusė tuščia, o kitoje n − 1 elementų, ir gaunama O(n²).
Atsakymas: B · Quickselect veikia per tikėtiną O(n), o medianų medianos metodas garantuoja O(n) blogiausiu atveju
Su atsitiktiniais atraminiais elementais quickselect tikėtinas darbas yra n + n/2 + n/4 + ... = O(n); atraminį elementą parenkant kaip medianų medianą, blogiausias atvejis tampa tiesinis.
Atsakymas: C · Gretimumo sąrašas
Matricai reikėtų 1010 langelių, beveik visi tušti; gretimumo sąrašas saugo tik maždaug 400,000 briaunų įrašų.
Atsakymas: D · Aukštis ne didesnis kaip 2 log2(n + 1)
Kiekviename kelyje yra vienodas juodų mazgų skaičius, o raudoni mazgai negali būti gretimi, todėl ilgiausias kelias daugiausia dvigubai ilgesnis už trumpiausią, ir aukštis yra O(log n).
Atsakymas: H = 3
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Atsakymas: briauna BD
Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.
Atsakymas: D · SELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
Kairysis sujungimas palieka visus klientus ir, nesant atitikmens, užsakymų stulpelius užpildo NULL; tada IS NULL išrenka būtent tuos klientus.
Atsakymas: C · Kiekvieno darbuotojo eilutę kartu su jo skyriaus vidutiniu atlyginimu
Kitaip nei GROUP BY, lango funkcija išlaiko kiekvieną įvesties eilutę ir prideda reikšmę, apskaičiuotą jos skaidinyje, šiuo atveju skyriuje.
Atsakymas: B · Discover, Offer, Request, Acknowledge
Klientas transliuoja Discover, serveriai atsako Offer pranešimais, klientas Request pranešimu prašo vieno pasiūlymo, o pasirinktas serveris patvirtina Acknowledge pranešimu.
Atsakymas: C · Persiuntimo slaptumas (forward secrecy), užtikrinamas laikinaisiais Diffie-Hellman raktų mainais
Naudojant laikinąjį (EC)DHE, kiekvienas seanso raktas gaunamas iš laikinų reikšmių, kurios sunaikinamos. Ilgalaikis raktas tik pasirašo mainus, todėl vėliau jį pavogus senas srautas neiššifruojamas.
Atsakymas: H = 30
IPv4 potinkliai: adresas turi 32 bitus. Prefiksas /p nurodo, kiek pradinių bitų žymi tinklą; likę 32 − p bitai numeruoja mazgus. Potinklis turi 2³²⁻ᵖ adresų, bet pirmojo (tinklo adreso) ir paskutiniojo (transliacijos adreso) negalima priskirti mazgams, todėl telpa 2³²⁻ᵖ − 2 mazgai. Išimtys: /31 (dviejų taškų jungtis, RFC 3021) abu savo 2 adresus naudoja mazgams, o /32 yra vienas adresas (vienas mazgas arba grįžtamoji sąsaja).
Atsakymas: x = 32
VLSM: kiekvienas LAN gauna mažiausią potinklį, kuriame 2ʰ − 2 ≥ jo mazgų skaičius, t. y. prefiksą 32 − h. Pirmiausia skiriant didžiausius potinklius, kiekvienas blokas lygiuojamas į savo dydžio kartotinį, todėl tinklų adresai gaunami sudedant bloko dydžius.
LAN E: 192.168.223.32/27.
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals