Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ką reiškia, kad uždavinys turi optimalią struktūrą (optimal substructure)?

  1. AUždavinį galima išspręsti per pastovų laiką
  2. BUždavinys turi lygiai vieną optimalų sprendinį, kurį bendrai turi visi dalinių uždavinių sprendiniai
  3. CVisi daliniai uždaviniai yra vienodo dydžio
  4. DOptimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl Dijkstros algoritmas gali duoti neteisingus rezultatus, kai kai kurie briaunų svoriai neigiami?

  1. AViršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią
  2. BTies kiekviena neigiama briauna jis patenka į begalinį ciklą
  3. CJis veikia tik su nekryptiniais grafais
  4. DNeigiamų skaičių negalima saugoti prioritetinėje eilėje
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek laiko užtrunka patikrinti, ar briauna (u, v) egzistuoja, naudojant gretimumo matricą?

  1. AO(V)
  2. BO(E)
  3. CO(1)
  4. DO(log V)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Dinaminis masyvas užsipildęs padvigubėja. Kodėl daugelis įgyvendinimų jį sumažina tik tada, kai jis užpildytas ketvirtadaliu, o ne perpus?

  1. AKad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos
  2. BNes atminties paskirstytuvas gali atlaisvinti atmintį tik bloko ketvirtadaliais
  3. CKad masyvas liktų surikiuotas
  4. DNes perpus mažinant esant pusei talpos būtų prarasti elementai
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 2 ilgio maršrutų iš B į D? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Optimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių

Kodėl tai yra atsakymas

Optimali struktūra būtina, kad ir godieji algoritmai, ir dinaminis programavimas duotų teisingus atsakymus.

Atsakymas

D · Optimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Viršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią

Kodėl tai yra atsakymas

Godusis žingsnis remiasi neneigiamais svoriais, kad išimti atstumai būtų galutiniai; kai svoriai gali būti neigiami, naudojamas Bellmano–Fordo algoritmas.

Atsakymas

A · Viršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(1)

Kodėl tai yra atsakymas

Matricos įrašas u eilutėje ir v stulpelyje iš karto parodo, ar briauna egzistuoja; gretimumo sąraše gali tekti peržiūrėti u kaimynus.

Atsakymas

C · O(1)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Kad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos

Kodėl tai yra atsakymas

Mažinant esant pusei talpos, tokioje sekoje kiekviena operacija galėtų sukelti dydžio keitimą; tarpas tarp 1/4 ir pilnos talpos išlaiko amortizuotą kainą O(1).

Atsakymas

A · Kad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Nelyginės viršūnės

0
Oilerio ciklas

Atsakymas

Oilerio ciklas
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 1

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Bendri kaimynai

(M²)BD = 1·0 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 = 1

Atsakymas

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms