Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = T(n − 1) + O(1) sprendinys?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris teiginys apie mažojo o žymėjimą teisingas?

  1. A2n = o(n), nes 2n auga lėtai
  2. Bn² = o(n)
  3. Cn = o(n), nes kiekviena funkcija yra mažasis o pati sau
  4. Dn = o(n²), bet n nėra o(n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kuri duomenų struktūra naudojama tikrinti, ar skliaustai eilutėje „{[()]}“ subalansuoti?

  1. ADvejetainis paieškos medis
  2. BMaišos lentelė
  3. CStekas
  4. DEilė
4.Duomenų struktūrosSunkus

Segmentų medis (segment tree) paprastai naudojamas:

  1. AStekui įgyvendinti
  2. BAtsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)
  3. CEilutėms rikiuoti abėcėlės tvarka, saugant kiekvieną prefiksą atskirame medžio mazge
  4. DGrafo briaunoms saugoti
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 17 viršūnių ir 23 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 17|E| = 23
k =
6.Grafų teorijaSunkus
3417811155620ABCDEFG

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 6; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 6
  1. 1briauna AC
  2. 2briauna BD
  3. 3briauna CE
  4. 4briauna DE
  5. 5briauna DF
  6. 6briauna GB
  7. 7briauna GC
  8. 8briauna GD
  9. 9briauna GE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Yra n lygmenų, kiekviename atliekamas pastovus darbas, kaip rekursyviai sumuojant masyvą.

Atsakymas

A · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · n = o(n²), bet n nėra o(n)

Kodėl tai yra atsakymas

f = o(g) reiškia, kad f(n) / g(n) artėja prie 0; n / n² artėja prie 0, bet n / n = 1 – ne.

Atsakymas

D · n = o(n²), bet n nėra o(n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Stekas

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvieną atidarantį skliaustą atlikite push, o pasirodžius uždarančiam – pop; jis turi atitikti išimtą skliaustą, o pabaigoje stekas turi būti tuščias.

Atsakymas

C · Stekas
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Segmentų medis saugo intervalų agregatus ir palaiko intervalų užklausas bei taškinius atnaujinimus per O(log n) laiko.

Atsakymas

B · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 7

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

17 − 1 = 16

Pašalintinos briaunos

k = 23 − 16 = 7

Atsakymas

k = 7
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna DF

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. AC (3)
2. BD (4)
3. GC (5)
4. GD (6)
5. DE (8)
6. DF (11)

briaunos numeris 6

DF

Atsakymas

briauna DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms