Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kodėl daug bibliotekinių rikiavimo procedūrų labai mažiems daliniams masyvams pereina prie rikiavimo įterpimu?

  1. ARikiavimas įterpimu blogiausiu atveju yra O(n log n)
  2. BRekursiniai algoritmai negali apdoroti mažesnių nei 10 elementų masyvų
  3. CRikiavimas įterpimu turi mažas pridėtines sąnaudas ir yra greitas su mažomis ar beveik surikiuotomis įvestimis
  4. DRikiavimas įterpimu didelėms įvestims naudoja mažiau atminties nei bet kuris kitas rikiavimo algoritmas
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Koks yra šio kodo laiko sudėtingumas: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) atlikti O(1) darbą?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n √n)
  4. DO(n²)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainio medžio šaknis yra 1, jos kairysis vaikas 2, dešinysis 3; mazgas 2 turi vaikus 4 (kairįjį) ir 5 (dešinįjį). Koks postorder apėjimas?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D5 4 3 2 1
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kurią tiesinio zondavimo problemą dvigubas maišymas (double hashing) daugiausia sumažina?

  1. APirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos
  2. BPoreikį saugoti raktus lentelėje
  3. CMaišos funkcijos poreikį
  4. DRakto reikšmės skaitymo O(n) kainą
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 17 viršūnių ir 25 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 17|E| = 25
k =
6.Grafų teorijaSunkus
201712169155ABCDE

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Rikiavimas įterpimu turi mažas pridėtines sąnaudas ir yra greitas su mažomis ar beveik surikiuotomis įvestimis

Kodėl tai yra atsakymas

Mažiems n paprastas rikiavimo įterpimu ciklas aplenkia greitojo rikiavimo ar rikiavimo suliejimu rekursijos pridėtines sąnaudas, nors jis ir O(n²).

Atsakymas

C · Rikiavimas įterpimu turi mažas pridėtines sąnaudas ir yra greitas su mažomis ar beveik surikiuotomis įvestimis
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Iš viso gaunama n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, o harmoninis skaičius Hn yra Θ(log n).

Atsakymas

B · O(n log n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · 4 5 2 3 1

Kodėl tai yra atsakymas

Postorder apdoroja 4 ir 5 prieš 2, tada 3 ir galiausiai šaknį 1.

Atsakymas

B · 4 5 2 3 1
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Pirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos

Kodėl tai yra atsakymas

Tiesinis zondavimas žengia po 1, todėl užimtos sekos auga ir susilieja; dvigubas maišymas žingsnio dydžiui naudoja antrą maišos funkciją, todėl skirtingi raktai zonduoja skirtingas sekas.

Atsakymas

A · Pirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 9

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

17 − 1 = 16

Pašalintinos briaunos

k = 25 − 16 = 9

Atsakymas

k = 9
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 46

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

BE (5): imti
CE (9): imti
BC (12): praleisti, uždaro ciklą
DE (15): imti
BD (16): praleisti, uždaro ciklą
AC (17): imti

Bendras svoris

W = 5 + 9 + 15 + 17 = 46

Atsakymas

W = 46

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms