Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra amortizuotas laiko sudėtingumas pridedant elementą į dinaminio masyvo, kuris prisipildęs padvigubina savo talpą, galą?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl dvejetainė paieška vienkrypčiame susietajame sąraše neužtikrina O(log n) laiko?

  1. AIki vidurinio elemento nueiti reikia O(n) žingsnių, nes nėra tiesioginės prieigos pagal indeksą
  2. BDvejetainei paieškai reikia bent dvigubai daugiau atminties
  3. CSusietojo sąrašo mazgų palyginimai lėtesni
  4. DSusietųjų sąrašų negalima surikiuoti
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Raktai 50, 30, 70, 20, 40 šia tvarka įterpiami į tuščią dvejetainį paieškos medį. Koks yra 30 kairysis vaikas?

  1. A50
  2. B70
  3. C40
  4. D20
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kiekvienam masyvo elementui norite rasti artimiausią didesnį elementą į dešinę, iš viso per O(n). Kuri struktūra padeda?

  1. AKiekvienam elementui iš naujo sudaromas dvejetainis paieškos medis
  2. BStekas, kuriame laikomi atsakymo laukiantys elementai
  3. CVisų elementų maišos lentelė
  4. DEilė, laikanti kiekvieną elementų porą
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 4 viršūnių, kurių laipsnis 4, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 34 × deg 4
L =
6.Grafų teorijaSunkus
19201351411128ABCDEF

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 4; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 4
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna CE
  5. 5briauna DE
  6. 6briauna DF
  7. 7briauna EF
  8. 8briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(1)

Kodėl tai yra atsakymas

Visi elementai kopijuojami tik pasiekus dvejeto laipsnius; paskirsčius šią kainą visiems pridėjimams, vidutinė vieno pridėjimo kaina yra pastovi.

Atsakymas

A · O(1)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Iki vidurinio elemento nueiti reikia O(n) žingsnių, nes nėra tiesioginės prieigos pagal indeksą

Kodėl tai yra atsakymas

Dvejetainei paieškai reikia O(1) prieigos prie vidurio; susietajame sąraše ėjimas iki jo kainuoja tiesinį laiką, todėl iš viso gaunama O(n).

Atsakymas

A · Iki vidurinio elemento nueiti reikia O(n) žingsnių, nes nėra tiesioginės prieigos pagal indeksą
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · 20

Kodėl tai yra atsakymas

20 mažesnis už 50 ir mažesnis už 30, todėl tampa 30 kairiuoju vaiku; 40 tampa jo dešiniuoju vaiku.

Atsakymas

D · 20
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Stekas, kuriame laikomi atsakymo laukiantys elementai

Kodėl tai yra atsakymas

Einant iš kairės į dešinę, iš steko išimami visi už einamąjį mažesni elementai (einamasis elementas yra jų atsakymas), tada jis įdedamas; kiekvienas elementas juda daugiausia dukart.

Atsakymas

B · Stekas, kuriame laikomi atsakymo laukiantys elementai
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 12

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 22 = 2(L + 6) − 2
L = 12

Atsakymas

L = 12

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna EF

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. CE (5)
2. BE (8)
3. DF (11)
4. EF (12)
5. AB (19)

briaunos numeris 4

EF

Atsakymas

briauna EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms