Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Paieška platyn nesvoriniame grafe randa:

  1. ATopologinę tvarką bet kuriame grafe
  2. BTrumpiausius kelius (pagal briaunų skaičių) nuo pradinės viršūnės
  3. CMinimalų jungiamąjį medį
  4. DTrumpiausius kelius grafuose, turinčiuose neigiamų briaunų svorių
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Paėmus abu kiekvienos maksimalaus poravimo (maximal matching) briaunos galus, gaunamas viršūnių denginys. Koks geras šis denginys?

  1. ADaugiausia log n kartų didesnis už minimalų
  2. BVisada minimalus viršūnių denginys
  3. CNežinomos kokybės, palyginti su optimaliu
  4. DDaugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Koks didžiausias galimas užpildymo koeficientas maišos lentelėje su atviruoju adresavimu?

  1. A0,5
  2. B1
  3. C2
  4. DDidžiausio nėra
4.Duomenų struktūrosSunkus

Struktūros union-find (nesikertančios aibės) su jungimu pagal rangą ir kelio suspaudimu amortizuota vienos operacijos kaina yra:

  1. AO(n²)
  2. BO(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi
  3. CO(n)
  4. DTiksliai O(log n)
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K7? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K7
H =
6.Grafų teorijaSunkus
141975215184ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Trumpiausius kelius (pagal briaunų skaičių) nuo pradinės viršūnės

Kodėl tai yra atsakymas

BFS aplanko viršūnes pagal atstumą (briaunomis) nuo pradinės viršūnės, todėl per O(V + E) randa trumpiausius kelius nesvoriniame grafe.

Atsakymas

B · Trumpiausius kelius (pagal briaunų skaičių) nuo pradinės viršūnės
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Daugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį

Kodėl tai yra atsakymas

Poravimo briaunos neturi bendrų viršūnių, todėl optimaliam sprendiniui reikia bent vienos viršūnės kiekvienai briaunai, o šis metodas paima dvi: tai 2-aproksimacija.

Atsakymas

D · Daugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · 1

Kodėl tai yra atsakymas

Taikant atvirąjį adresavimą visi raktai saugomi pačioje lentelėje, todėl n negali viršyti m; atskirų grandinių metodu užpildymo koeficientas gali būti didesnis už 1.

Atsakymas

B · 1
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · O(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi

Kodėl tai yra atsakymas

Taikant abi optimizacijas, operacijos trunka O(α(n)) amortizuoto laiko; α(n) ≤ 4 bet kokiam realiam n.

Atsakymas

B · O(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 360

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Atsakymas

H = 360
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 27

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

AC (1): imti
DE (2): imti
BE (4): imti
CE (5): imti
BD (7): praleisti, uždaro ciklą
BC (9): praleisti, uždaro ciklą
AB (14): praleisti, uždaro ciklą
DF (15): imti

Bendras svoris

W = 1 + 2 + 4 + 5 + 15 = 27

Atsakymas

W = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms