Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra LSD pozicinio rikiavimo (radix sort) vykdymo laikas n sveikųjų skaičių, turinčių d skaitmenų k pagrindo sistemoje?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(d(n + k))
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Rikiavimas įterpimu surikiuotai įvesčiai veikia per O(n). Ar tai prieštarauja rikiavimo palyginimais apatiniam rėžiui Ω(n log n)?

  1. ATaip, bet tik trumpesniems nei 100 masyvams
  2. BTaip, todėl apatinis rėžis neteisingas
  3. CNe, apatinis rėžis taikomas blogiausiam atvejui tarp visų įvesčių, o ne kiekvienai įvesčiai
  4. DNe, nes rikiavimas įterpimu nėra rikiavimas palyginimais
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Žiedinis buferis (ring buffer) dažniausiai naudojamas įgyvendinti:

  1. AMaišos funkciją
  2. BGrafo apėjimą
  3. CDvejetainį paieškos medį
  4. DFiksuoto dydžio eilę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri struktūra leidžia apskaičiuoti kiekvieno k dydžio masyvo lango maksimumą iš viso per O(n)?

  1. APastūmimais atnaujinamas surikiuotas masyvas
  2. BKiekvienam langui iš naujo sudaroma min krūva
  3. CDekas, laikantis indeksus mažėjančia reikšmių tvarka
  4. DLango elementų vienkrypčis susietasis sąrašas
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
111676228ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki E svertiniame grafe ilgį d(E).

pradžia: Apabaiga: E
d(E) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(d(n + k))

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas iš d perėjimų yra rikiavimas skaičiavimu, kainuojantis O(n + k), todėl esant fiksuotiems d ir k bendras laikas tiesinis n atžvilgiu.

Atsakymas

D · O(d(n + k))
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Ne, apatinis rėžis taikomas blogiausiam atvejui tarp visų įvesčių, o ne kiekvienai įvesčiai

Kodėl tai yra atsakymas

Rėžis teigia, kad kiekvienam rikiavimui palyginimais su kuria nors n dydžio įvestimi reikia apie n log n palyginimų; ypatingos įvestys gali būti apdorojamos daug greičiau.

Atsakymas

C · Ne, apatinis rėžis taikomas blogiausiam atvejui tarp visų įvesčių, o ne kiekvienai įvesčiai
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Fiksuoto dydžio eilę

Kodėl tai yra atsakymas

Žiedinis buferis naudoja persisukančius head ir tail indeksus, todėl enqueue ir dequeue atliekami per O(1) fiksuotoje atmintyje.

Atsakymas

D · Fiksuoto dydžio eilę
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Dekas, laikantis indeksus mažėjančia reikšmių tvarka

Kodėl tai yra atsakymas

Deko priekis visada yra lango maksimumas; kiekvienas indeksas į deką patenka ir iš jo išeina vieną kartą, todėl darbas tiesinis.

Atsakymas

C · Dekas, laikantis indeksus mažėjančia reikšmių tvarka
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Nelyginės viršūnės

D, E → 2
Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(E) = 19

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 11
B (11): C: 12, D: 17, E: 19
C (12)
D (17): F: 19
E (19)
F (19)

Trumpiausias kelias

A → B → E
d(E) = 19

Atsakymas

d(E) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms