Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Vieną kartą surikiuojate n elementų masyvą, o tada dvejetaine paieška atsakote į k priklausomybės užklausų. Kokia bendra kaina?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(n + k)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ką reikia padaryti, norint parodyti, kad naujas uždavinys X yra NP-sunkus?

  1. APer polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X
  2. BParodyti, kad X neturi polinominio algoritmo mažoms įvestims
  3. CPer polinominį laiką redukuoti X į žinomą NP-sunkų uždavinį
  4. DParodyti, kad X galima patikrinti per polinominį laiką
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainėje min krūvoje, saugomoje masyve (indeksai nuo 0), mazgo su indeksu i vaikai yra pozicijose:

  1. Ai/2 ir i/2 + 1
  2. B2i + 1 ir 2i + 2
  3. C2i ir 2i + 1
  4. Di + 1 ir i + 2
4.Duomenų struktūrosSunkus

Struktūros union-find (nesikertančios aibės) su jungimu pagal rangą ir kelio suspaudimu amortizuota vienos operacijos kaina yra:

  1. AO(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DTiksliai O(log n)
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
201612481715ABCDEF

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės C. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 4.

pradžia: Ck = 4
  1. 1briauna AC
  2. 2briauna BC
  3. 3briauna BD
  4. 4briauna CE
  5. 5briauna DE
  6. 6briauna DF
  7. 7briauna EF
  8. 8briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(n log n + k log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimas kainuoja O(n log n), o kiekviena užklausa – O(log n); kai k didelis, tai geriau nei k tiesinių peržiūrų (O(nk)).

Atsakymas

D · O(n log n + k log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X

Kodėl tai yra atsakymas

Jei žinomą sunkų uždavinį galima efektyviai transformuoti į X, greitas X algoritmas išspręstų ir žinomą uždavinį.

Atsakymas

A · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · 2i + 1 ir 2i + 2

Kodėl tai yra atsakymas

Masyvuose, indeksuojamuose nuo 0, kairysis vaikas yra 2i + 1, dešinysis 2i + 2, o tėvas ⌊(i − 1)/2⌋.

Atsakymas

B · 2i + 1 ir 2i + 2
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · O(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi

Kodėl tai yra atsakymas

Taikant abi optimizacijas, operacijos trunka O(α(n)) amortizuoto laiko; α(n) ≤ 4 bet kokiam realiam n.

Atsakymas

A · O(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Nelyginės viršūnės

0
Oilerio ciklas

Atsakymas

Oilerio ciklas
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BD

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. CE (4)
2. EF (7)
3. DF (1)
4. BD (12)
5. AC (20)

briaunos numeris 4

BD

Atsakymas

briauna BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms