Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kiek lygmenų turi rikiavimo suliejimu rekursija n elementų masyvui?

  1. AApie n / 2
  2. BApie √n
  3. CApie log₂ n
  4. DApie n
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kokios yra n-tojo Fibonačio skaičiaus skaičiavimo ciklu, saugančiu tik dvi paskutines reikšmes, laiko ir atminties sąnaudos?

  1. AO(n) laiko ir O(n) atminties
  2. BO(2ⁿ) laiko ir O(1) atminties
  3. CO(log n) laiko ir O(n) atminties
  4. DO(n) laiko ir O(1) atminties
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kas nutinka, kai maišos lentelė, jos užpildymo koeficientui viršijus slenkstį, atlieka pakartotinį maišymą (rehash)?

  1. ASeniausi raktai pašalinami vietai atlaisvinti
  2. BĮ naują perpildos sąrašą lentelės gale perkeliami tik susidūrę raktai
  3. CEsami raktai surikiuojami vietoje
  4. DIšskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo
4.Duomenų struktūrosSunkus

Objektas saugomas kaip raktas maišos atvaizdyje, o paskui pakeičiamas laukas, kurį naudoja jo maišos funkcija. Koks tikėtinas rezultatas?

  1. AObjekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire
  2. BNiekas nepasikeičia, nes rakto maišos reikšmė skaičiuojama tik vieną kartą programai pasileidus
  3. CAtvaizdis automatiškai perkelia raktą į naują kibirą
  4. DAtvaizdis išmeta klaidą tą akimirką, kai laukas pasikeičia
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 2 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 32 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDEF

Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties D? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Apie log₂ n

Kodėl tai yra atsakymas

Dalijant pusiau nuo n iki 1, reikia apie log₂ n lygmenų, o kiekviename lygmenyje atliekama O(n) suliejimo darbo, todėl gaunama O(n log n).

Atsakymas

C · Apie log₂ n
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(n) laiko ir O(1) atminties

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienam žingsniui reikia tik dviejų ankstesnių reikšmių, todėl „iš apačios į viršų“ metodo lentelę galima pakeisti dviem kintamaisiais.

Atsakymas

D · O(n) laiko ir O(1) atminties
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Išskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi indeksas skaičiuojamas moduliu pagal lentelės dydį, visus raktus reikia iš naujo sumaišyti į naują, didesnę lentelę; dvigubinant tai lieka O(1) amortizuotai.

Atsakymas

D · Išskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Objekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire

Kodėl tai yra atsakymas

Rakto vieta buvo parinkta pagal senąją maišos reikšmę; su nauja maišos reikšme paieška ieško netinkamame kibire, todėl raktai turėtų būti nekeičiami.

Atsakymas

A · Objekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 4

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 10 = 2(L + 4) − 2
L = 4

Atsakymas

L = 4

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 3

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Bendri kaimynai

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 = 3

Atsakymas

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms