Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Godusis algoritmas:

  1. AIšbando kiekvieną galimą sprendinį
  2. BKiekviename žingsnyje priima lokaliai geriausią sprendimą
  3. CVisada pateikia optimalų sprendinį
  4. DNaudoja tik rekursiją
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Sustojimo problema parodo, kad:

  1. AKai kurios programos greitesniuose kompiuteriuose veikia greičiau, todėl sustojimas priklauso nuo aparatinės įrangos
  2. BCiklų reikėtų vengti
  3. CKiekviena programa anksčiau ar vėliau sustoja
  4. DJoks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip naujas elementas įterpiamas į dvejetainę krūvą?

  1. APadedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę
  2. BVisa krūva perstatoma iš naujo
  3. CPadedamas šaknyje ir leidžiamas žemyn
  4. DĮterpiamas į surikiuotą poziciją, pastumiant visus didesnius elementus viena vieta į dešinę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Ką skleidžiamasis medis (splay tree) atlieka po kiekvienos prieigos?

  1. APerkelia pasiektą mazgą į lapą
  2. BPosūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį
  3. CPerspalvina paieškos kelio mazgus
  4. DPerstato visą medį į subalansuotą formą
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K8? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K8
H =
6.Grafų teorijaSunkus
1915136181720165ABCDEFG

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 2; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 2
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna DE
  6. 6briauna DF
  7. 7briauna EF
  8. 8briauna GB
  9. 9briauna GE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Kiekviename žingsnyje priima lokaliai geriausią sprendimą

Kodėl tai yra atsakymas

Godieji algoritmai yra greiti ir kai kuriems uždaviniams optimalūs (pvz., Dijkstros algoritmas, Hafmano kodavimas), bet ne bendruoju atveju (pvz., grąžos atidavimo uždavinys su kai kuriomis monetų sistemomis).

Atsakymas

B · Kiekviename žingsnyje priima lokaliai geriausią sprendimą
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Joks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos

Kodėl tai yra atsakymas

Tiuringas parodė, kad sustojimo problema yra neišsprendžiama: prielaida, kad egzistuoja ją sprendžiantis algoritmas, veda į prieštarą su programa, kuri elgiasi priešingai.

Atsakymas

D · Joks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Padedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę

Kodėl tai yra atsakymas

Pridėjimas gale išlaiko medį pilną; keitimasis vietomis su tėvu atkuria tvarką per O(log n) žingsnių.

Atsakymas

A · Padedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Posūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį

Kodėl tai yra atsakymas

Skleidimas posūkiais perkelia pasiektą mazgą į šaknį; viena operacija gali kainuoti O(n), bet amortizuota kaina yra O(log n).

Atsakymas

B · Posūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 2520

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Atsakymas

H = 2520
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BD

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. GE (5)
2. BD (6)
3. BC (13)
4. AC (15)
5. GB (16)
6. DF (17)

briaunos numeris 2

BD

Atsakymas

briauna BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms