Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ką matuoja amortizuotoji analizė?

  1. AAlgoritmo kainą su geriausia įvestimi
  2. BVidutinę vienos operacijos kainą blogiausio atvejo operacijų sekoje
  3. CTikėtiną kainą su atsitiktinėmis įvestimis
  4. DVienos brangiausios operacijos bet kurioje sekos vietoje kainą
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ką nustatė Cooko–Levino teorema?

  1. AStabdymo problema yra neišsprendžiama
  2. BKiekvieną NP uždavinį galima išspręsti per eksponentinį laiką
  3. CP nelygu NP
  4. DLoginio įvykdomumo uždavinys (SAT) yra NP-pilnas
3.Duomenų struktūrosVidutinis

AVL medžiai ir raudonai juodi medžiai garantuoja:

  1. AKad nė vienas mazgas neturi dviejų vaikų
  2. BKad raktai saugomi įterpimo tvarka
  3. CPastovaus laiko paiešką bet kokiu atveju
  4. DO(log n) aukštį perbalansavimo dėka
4.Duomenų struktūrosSunkus

Segmentų medis (segment tree) paprastai naudojamas:

  1. AStekui įgyvendinti
  2. BEilutėms rikiuoti abėcėlės tvarka, saugant kiekvieną prefiksą atskirame medžio mazge
  3. CGrafo briaunoms saugoti
  4. DAtsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 3 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, 3 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

3 × deg 33 × deg 43 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
11582010192166ABCDEFG

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės G. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 5.

pradžia: Gk = 5
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna DF
  6. 6briauna EF
  7. 7briauna GB
  8. 8briauna GD
  9. 9briauna GE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Vidutinę vienos operacijos kainą blogiausio atvejo operacijų sekoje

Kodėl tai yra atsakymas

Amortizuotoji analizė retų brangių operacijų kainą paskirsto daugybei pigių ir duoda garantuotą vidurkį bet kuriai sekai.

Atsakymas

B · Vidutinę vienos operacijos kainą blogiausio atvejo operacijų sekoje
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Loginio įvykdomumo uždavinys (SAT) yra NP-pilnas

Kodėl tai yra atsakymas

Cookas ir Levinas nepriklausomai parodė, kad kiekvienas NP uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į SAT, todėl SAT tapo pirmuoju žinomu NP-pilnu uždaviniu.

Atsakymas

D · Loginio įvykdomumo uždavinys (SAT) yra NP-pilnas
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(log n) aukštį perbalansavimo dėka

Kodėl tai yra atsakymas

Savaime balansuojantys medžiai išlaiko logaritminį aukštį, todėl paieška, įterpimas ir šalinimas blogiausiu atveju yra O(log n).

Atsakymas

D · O(log n) aukštį perbalansavimo dėka
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Segmentų medis saugo intervalų agregatus ir palaiko intervalų užklausas bei taškinius atnaujinimus per O(log n) laiko.

Atsakymas

D · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 11

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 27 = 2(L + 9) − 2
L = 11

Atsakymas

L = 11

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna GD

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. GB (2)
2. AB (1)
3. GE (6)
4. BC (8)
5. GD (16)
6. DF (10)

briaunos numeris 5

GD

Atsakymas

briauna GD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms