Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Funkcija vykdo vieną n iteracijų ciklą, o paskui, atskirai, dar vieną n iteracijų ciklą. Koks jos laiko sudėtingumas?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris teiginys apie P ir NP yra teisingas?

  1. ANP uždavinių sprendinių negalima greitai patikrinti
  2. BKiekvienas P klasės uždavinys taip pat priklauso NP
  3. CĮrodyta, kad P ≠ NP
  4. DNP reiškia „nepolinominis“ (not polynomial)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kuris kolizijų sprendimo metodas saugo susidūrusius raktus sąraše tame pačiame kibire?

  1. AKvadratinis zondavimas
  2. BAtskiros grandinės (separate chaining)
  3. CTiesinis zondavimas
  4. DDvigubas maišymas
4.Duomenų struktūrosSunkus

Esant paprastam tolygiam maišymui, koks tikėtinas paieškos laikas maišos lentelėje su grandinėmis, n raktų ir m kibirų?

  1. AO(m)
  2. BO(n)
  3. CO(1 + α), kur α = n / m
  4. DO(log n)
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 3 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, 2 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

3 × deg 33 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
89117201912ABCDE

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

n + n = 2n, o pastovūs daugikliai atmetami, todėl funkcija yra O(n).

Atsakymas

B · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Kiekvienas P klasės uždavinys taip pat priklauso NP

Kodėl tai yra atsakymas

P ⊆ NP: jei uždavinį galite greitai išspręsti, galite ir greitai patikrinti sprendinį. Ar P = NP, vis dar yra atviras klausimas.

Atsakymas

B · Kiekvienas P klasės uždavinys taip pat priklauso NP
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Atskiros grandinės (separate chaining)

Kodėl tai yra atsakymas

Grandinių metodas kiekvienam kibirui laiko susietąjį sąrašą (ar kitą struktūrą); atvirasis adresavimas ieško kitos laisvos vietos pačioje lentelėje.

Atsakymas

B · Atskiros grandinės (separate chaining)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(1 + α), kur α = n / m

Kodėl tai yra atsakymas

Maišos reikšmės apskaičiavimas kainuoja O(1), o tikėtinas grandinės ilgis yra α, todėl, keičiant dydį ir taip ribojant α, gaunamas O(1) tikėtinas laikas.

Atsakymas

C · O(1 + α), kur α = n / m
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 23

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 45 = 2(L + 12) − 2
L = 23

Atsakymas

L = 23

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 38

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

BC (1): imti
AB (8): imti
AC (9): praleisti, uždaro ciklą
BE (12): imti
BD (17): imti

Bendras svoris

W = 1 + 8 + 12 + 17 = 38

Atsakymas

W = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms