Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ką reiškia, kad uždavinys turi optimalią struktūrą (optimal substructure)?

  1. AUždavinys turi lygiai vieną optimalų sprendinį, kurį bendrai turi visi dalinių uždavinių sprendiniai
  2. BOptimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių
  3. CUždavinį galima išspręsti per pastovų laiką
  4. DVisi daliniai uždaviniai yra vienodo dydžio
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuriuos du dalykus reikia parodyti, norint įrodyti, kad sprendimo uždavinys X yra NP-pilnas?

  1. AX priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X
  2. BX redukuojamas į P uždavinį, ir X priklauso NP
  3. CX priklauso P, ir X redukuojamas į SAT
  4. DX neturi polinominio algoritmo, ir X yra išsprendžiamas
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kur yra mazgo su indeksu i tėvas dvejetainėje krūvoje, saugomoje masyve nuo indekso 0?

  1. AIndeksu ⌊i / 2⌋ + 1
  2. BIndeksu 2i + 1
  3. CIndeksu i − 1
  4. DIndeksu ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl serveris galėtų savo maišos funkciją atsitiktinai parinkti iš universaliosios šeimos?

  1. AKad nebereikėtų keisti lentelės dydžio
  2. BKad garantuotų, jog jokie du raktai niekada nesusidurs, kokius raktus beišsiųstų užpuolikas
  3. CKad būtų labai mažai tikėtina, jog užpuolikas parinks daug raktų, kurie visi susiduria
  4. DKad maišos lentelė būtų surikiuota
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K7? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K7
H =
6.Grafų teorijaSunkus
71215111021131719ABCDEFG

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Optimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių

Kodėl tai yra atsakymas

Optimali struktūra būtina, kad ir godieji algoritmai, ir dinaminis programavimas duotų teisingus atsakymus.

Atsakymas

B · Optimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · X priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X

Kodėl tai yra atsakymas

Priklausymas NP rodo, kad X nėra sunkesnis už NP; redukcija iš žinomo NP-pilno uždavinio rodo, kad X yra bent tokio pat sunkumo kaip visa NP klasė.

Atsakymas

A · X priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Indeksu ⌊(i − 1) / 2⌋

Kodėl tai yra atsakymas

Mazgo i vaikai yra 2i + 1 ir 2i + 2, todėl i tėvas yra ⌊(i − 1) / 2⌋; indeksuojant nuo 1 tai ⌊i / 2⌋.

Atsakymas

D · Indeksu ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Kad būtų labai mažai tikėtina, jog užpuolikas parinks daug raktų, kurie visi susiduria

Kodėl tai yra atsakymas

Taikant universalųjį maišymą, tikėtinas kolizijų skaičius bet kuriai raktų aibei mažas, nes užpuolikas nežino, kuri funkcija parinkta.

Atsakymas

C · Kad būtų labai mažai tikėtina, jog užpuolikas parinks daug raktų, kurie visi susiduria
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 360

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Atsakymas

H = 360
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 46

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

EF (1): imti
DF (2): imti
AB (7): imti
DE (10): praleisti, uždaro ciklą
CE (11): imti
AC (12): imti
GB (13): imti

Bendras svoris

W = 1 + 2 + 7 + 11 + 12 + 13 = 46

Atsakymas

W = 46

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms