Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Surikiuotame masyve ieškote dviejų elementų, kurių suma lygi tikslinei, judindami po vieną rodyklę nuo kiekvieno galo į vidų. Koks laiko sudėtingumas?

AO(n²)
BO(n log n)
CO(n)
DO(log n)

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ką nustatė Cooko–Levino teorema?

AP nelygu NP
BStabdymo problema yra neišsprendžiama
CLoginio įvykdomumo uždavinys (SAT) yra NP-pilnas
DKiekvieną NP uždavinį galima išspręsti per eksponentinį laiką

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia sargybinio (fiktyvaus, sentinel) mazgo paskirtis susietajame sąraše?

ANeleisti sąrašui augti virš nustatyto didžiausio mazgų skaičiaus
BSaugoti elementų skaičių
CSupaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje
DPadaryti sąrašą surikiuotą

4.Duomenų struktūrosSunkus

Koks paieškos platyn vykdymo laikas grafui su V viršūnių, saugomam gretimumo matrica?

AO(V)
BO(V + E)
CO(E log V)
DO(V²)

5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K₆? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K₆

H =

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F

d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Jei suma per maža, kairioji rodyklė juda į dešinę, jei per didelė – dešinioji juda į kairę, todėl žingsnių yra daugiausia n.

Atsakymas

C · O(n)

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Loginio įvykdomumo uždavinys (SAT) yra NP-pilnas

Kodėl tai yra atsakymas

Cookas ir Levinas nepriklausomai parodė, kad kiekvienas NP uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į SAT, todėl SAT tapo pirmuoju žinomu NP-pilnu uždaviniu.

Atsakymas

C · Loginio įvykdomumo uždavinys (SAT) yra NP-pilnas

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Supaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje

Kodėl tai yra atsakymas

Su sargybiniu kiekvienas tikras mazgas turi pirmtaką, todėl įterpimui ar šalinimui pradžioje nereikia specialaus apdorojimo.

Atsakymas

C · Supaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(V²)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekviena iš V viršūnių peržiūri V įrašų eilutę, todėl gaunama O(V²); su gretimumo sąrašais BFS yra O(V + E).

Atsakymas

D · O(V²)

5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 60

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Atsakymas

H = 60

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 26

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 8, C: 7

C (7): E: 18, G: 12

B (8): D: 17, G: 9

G (9)

D (17): F: 26

E (18)

F (26)

Trumpiausias kelias

A → B → D → F

d(F) = 26

Atsakymas

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms