Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kodėl didžiojo O žymėjime logaritmo pagrindas paprastai nenurodomas, kaip O(log n)?

  1. APagrindas svarbus tik mažiems n
  2. BSkirtingų pagrindų logaritmai skiriasi tik pastoviu daugikliu
  3. CVisų logaritmų informatikoje pagrindas yra 10, todėl jis numanomas
  4. DLogaritmai visada apvalinami iki sveikųjų skaičių
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Taikant pagrindinę teoremą (master theorem), T(n) = 8T(n/2) + O(n²) sprendinys yra:

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n²)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kas nutinka, kai maišos lentelė, jos užpildymo koeficientui viršijus slenkstį, atlieka pakartotinį maišymą (rehash)?

  1. ASeniausi raktai pašalinami vietai atlaisvinti
  2. BĮ naują perpildos sąrašą lentelės gale perkeliami tik susidūrę raktai
  3. CIšskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo
  4. DEsami raktai surikiuojami vietoje
4.Duomenų struktūrosSunkus

Ką skleidžiamasis medis (splay tree) atlieka po kiekvienos prieigos?

  1. APerstato visą medį į subalansuotą formą
  2. BPerspalvina paieškos kelio mazgus
  3. CPosūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį
  4. DPerkelia pasiektą mazgą į lapą
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 17 viršūnių ir 19 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 17|E| = 19
k =
6.Grafų teorijaSunkus
101621111819ABCDE

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės E. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 3.

pradžia: Ek = 3
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Skirtingų pagrindų logaritmai skiriasi tik pastoviu daugikliu

Kodėl tai yra atsakymas

Pakeitus pagrindą, logaritmas padauginamas iš konstantos, o didysis O nepaiso pastovių daugiklių.

Atsakymas

B · Skirtingų pagrindų logaritmai skiriasi tik pastoviu daugikliu
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Θ(n³)

Kodėl tai yra atsakymas

log₂ 8 = 3, o n² auga lėčiau nei n³, todėl dominuoja lapai: Θ(n³).

Atsakymas

C · Θ(n³)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Išskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi indeksas skaičiuojamas moduliu pagal lentelės dydį, visus raktus reikia iš naujo sumaišyti į naują, didesnę lentelę; dvigubinant tai lieka O(1) amortizuotai.

Atsakymas

C · Išskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Posūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį

Kodėl tai yra atsakymas

Skleidimas posūkiais perkelia pasiektą mazgą į šaknį; viena operacija gali kainuoti O(n), bet amortizuota kaina yra O(log n).

Atsakymas

C · Posūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 3

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

17 − 1 = 16

Pašalintinos briaunos

k = 19 − 16 = 3

Atsakymas

k = 3
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BD

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. CE (11)
2. BC (2)
3. BD (1)
4. AB (10)

briaunos numeris 3

BD

Atsakymas

briauna BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms