Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ką apskaičiuoja Floydo–Warshallo algoritmas ir kaip greitai?

  1. ATopologinę tvarką per O(V²)
  2. BMinimalų jungiamąjį medį per O(E log V)
  3. CTrumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)
  4. DTrumpiausius kelius iš vienos šaltinio viršūnės į visas kitas per O(V + E)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris teiginys apie P ir NP yra teisingas?

  1. ANP reiškia „nepolinominis“ (not polynomial)
  2. BĮrodyta, kad P ≠ NP
  3. CNP uždavinių sprendinių negalima greitai patikrinti
  4. DKiekvienas P klasės uždavinys taip pat priklauso NP
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia sargybinio (fiktyvaus, sentinel) mazgo paskirtis susietajame sąraše?

  1. ANeleisti sąrašui augti virš nustatyto didžiausio mazgų skaičiaus
  2. BPadaryti sąrašą surikiuotą
  3. CSupaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje
  4. DSaugoti elementų skaičių
4.Duomenų struktūrosSunkus

Raktai 5, 3, 8, 1 šia tvarka įterpiami į tuščią masyvu grįstą dvejetainę min krūvą. Koks galutinis masyvas?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, 4 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

4 × deg 54 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
911571612111034ABCDEFG

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 2; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 2
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BD
  4. 4briauna CE
  5. 5briauna DE
  6. 6briauna EF
  7. 7briauna GB
  8. 8briauna GC
  9. 9briauna GD
  10. 10briauna GE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Trumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)

Kodėl tai yra atsakymas

Floydo–Warshallo algoritmas yra dinaminio programavimo algoritmas, kuris paeiliui leidžia kiekvieną viršūnę naudoti kaip tarpinį tašką, sunaudodamas O(V³) laiko.

Atsakymas

C · Trumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Kiekvienas P klasės uždavinys taip pat priklauso NP

Kodėl tai yra atsakymas

P ⊆ NP: jei uždavinį galite greitai išspręsti, galite ir greitai patikrinti sprendinį. Ar P = NP, vis dar yra atviras klausimas.

Atsakymas

D · Kiekvienas P klasės uždavinys taip pat priklauso NP
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Supaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje

Kodėl tai yra atsakymas

Su sargybiniu kiekvienas tikras mazgas turi pirmtaką, todėl įterpimui ar šalinimui pradžioje nereikia specialaus apdorojimo.

Atsakymas

C · Supaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · [1, 3, 8, 5]

Kodėl tai yra atsakymas

Po 5, 3, 8 masyvas yra [3, 5, 8]; 1 patenka į indeksą 3, susikeičia su tėvu 5, o tada su 3, todėl gaunama [1, 3, 8, 5].

Atsakymas

C · [1, 3, 8, 5]
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 14

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

Atsakymas

L = 14

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna GD

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. AC (1)
2. GD (3)
3. GE (4)
4. CE (7)
5. AB (9)
6. EF (12)

briaunos numeris 2

GD

Atsakymas

briauna GD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms