Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Turint 1, 3 ir 4 vertės monetas ir 6 sumą, kiek monetų panaudoja godusis metodas „pirmiausia didžiausia moneta“, palyginti su optimaliu sprendiniu?

  1. AGodusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 3
  2. BGodusis panaudoja 2 monetas; optimalus sprendinys – 2
  3. CGodusis panaudoja 4 monetas; optimalus sprendinys – 3
  4. DGodusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 2
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Rikiavimas įterpimu surikiuotai įvesčiai veikia per O(n). Ar tai prieštarauja rikiavimo palyginimais apatiniam rėžiui Ω(n log n)?

  1. ATaip, todėl apatinis rėžis neteisingas
  2. BTaip, bet tik trumpesniems nei 100 masyvams
  3. CNe, nes rikiavimas įterpimu nėra rikiavimas palyginimais
  4. DNe, apatinis rėžis taikomas blogiausiam atvejui tarp visų įvesčių, o ne kiekvienai įvesčiai
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kodėl dvejetainę krūvą galima saugoti masyve be jokių rodyklių?

  1. AMasyvai automatiškai laiko raktus surikiuotus, todėl rodyklių nereikia
  2. BVisi krūvos raktai lygūs
  3. CTai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės
  4. DKrūvose niekada nebūna daugiau kaip 100 elementų
4.Duomenų struktūrosSunkus

Ką skleidžiamasis medis (splay tree) atlieka po kiekvienos prieigos?

  1. APerstato visą medį į subalansuotą formą
  2. BPosūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį
  3. CPerkelia pasiektą mazgą į lapą
  4. DPerspalvina paieškos kelio mazgus
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 33 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
5155108149114ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki D svertiniame grafe ilgį d(D).

pradžia: Apabaiga: D
d(D) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Godusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 2

Kodėl tai yra atsakymas

Godusis metodas paima 4 + 1 + 1 = 3 monetas, bet 3 + 3 panaudoja tik 2, todėl šiai monetų sistemai godusis metodas nėra optimalus; dinaminis programavimas – optimalus.

Atsakymas

D · Godusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 2
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Ne, apatinis rėžis taikomas blogiausiam atvejui tarp visų įvesčių, o ne kiekvienai įvesčiai

Kodėl tai yra atsakymas

Rėžis teigia, kad kiekvienam rikiavimui palyginimais su kuria nors n dydžio įvestimi reikia apie n log n palyginimų; ypatingos įvestys gali būti apdorojamos daug greičiau.

Atsakymas

D · Ne, apatinis rėžis taikomas blogiausiam atvejui tarp visų įvesčių, o ne kiekvienai įvesčiai
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Tai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės

Kodėl tai yra atsakymas

Pilnumas reiškia, kad nėra tarpų, todėl indekso i vaikai visada yra 2i + 1 ir 2i + 2.

Atsakymas

C · Tai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Posūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį

Kodėl tai yra atsakymas

Skleidimas posūkiais perkelia pasiektą mazgą į šaknį; viena operacija gali kainuoti O(n), bet amortizuota kaina yra O(log n).

Atsakymas

B · Posūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 4

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 12 = 2(L + 5) − 2
L = 4

Atsakymas

L = 4

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(D) = 25

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): C: 5
C (5): B: 20, E: 15, G: 14
G (14): D: 25
E (15)
B (20)
D (25): F: 33
F (33)

Trumpiausias kelias

A → C → G → D
d(D) = 25

Atsakymas

d(D) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms