Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra LSD pozicinio rikiavimo (radix sort) vykdymo laikas n sveikųjų skaičių, turinčių d skaitmenų k pagrindo sistemoje?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(dn log k)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = 2T(n/2) + n log n sprendinys?

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kurią duomenų struktūrą vykdoma programa naudoja aktyviems funkcijų kvietimams ir jų lokaliesiems kintamiesiems sekti?

  1. ARėmelių dvejetainį paieškos medį
  2. BDinaminės atminties (heap) eilę
  3. CKvietimų steką
  4. DFunkcijų maišos lentelę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Operacijos decrease-key dvejetainėje krūvoje (žinant elemento poziciją) laiko sudėtingumas yra:

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 13 viršūnių ir 14 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 13|E| = 14
k =
6.Grafų teorijaSunkus
5151762019782ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(d(n + k))

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas iš d perėjimų yra rikiavimas skaičiavimu, kainuojantis O(n + k), todėl esant fiksuotiems d ir k bendras laikas tiesinis n atžvilgiu.

Atsakymas

A · O(d(n + k))
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Θ(n log² n)

Kodėl tai yra atsakymas

k-asis lygmuo atlieka apie n log(n / 2ᵏ) darbo, o susumavus per log n lygmenų gaunama Θ(n log² n) – tai išplėstinis antrasis pagrindinės teoremos atvejis.

Atsakymas

A · Θ(n log² n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Kvietimų steką

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas kvietimas įdeda steko rėmelį, o kiekvienas grįžimas jį išima, todėl naujausias kvietimas baigiasi pirmas.

Atsakymas

C · Kvietimų steką
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Sumažinus raktą, elementas kyla aukštyn ne daugiau nei krūvos aukštis. Fibonačio krūvos pasiekia O(1) amortizuotą decrease-key.

Atsakymas

C · O(log n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 2

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

13 − 1 = 12

Pašalintinos briaunos

k = 14 − 12 = 2

Atsakymas

k = 2
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 35

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

BE (2): imti
AB (5): imti
BD (6): imti
DF (7): imti
EF (8): praleisti, uždaro ciklą
AC (15): imti

Bendras svoris

W = 2 + 5 + 6 + 7 + 15 = 35

Atsakymas

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms