Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuri godžioji taisyklė veiklų atrankos uždavinyje visada duoda didžiausią nepersidengiančių veiklų skaičių?

  1. APasirinkti anksčiausiai pasibaigiančią veiklą, tada kartoti su suderinamomis
  2. BPirmiausia pasirinkti veiklą, turinčią mažiausiai persidengimų, tada kartoti su suderinamomis
  3. CPirmiausia pasirinkti trumpiausią veiklą
  4. DPasirinkti anksčiausiai prasidedančią veiklą
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Koks yra dvejetainės krūvos sudarymo iš n nesurikiuotų elementų metodu „iš apačios į viršų“ (bottom-up) laiko sudėtingumas?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kodėl dvejetainę krūvą galima saugoti masyve be jokių rodyklių?

  1. AKrūvose niekada nebūna daugiau kaip 100 elementų
  2. BMasyvai automatiškai laiko raktus surikiuotus, todėl rodyklių nereikia
  3. CVisi krūvos raktai lygūs
  4. DTai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės
4.Duomenų struktūrosSunkus

AVL mazgas nesubalansuotas, nes jo kairiojo vaiko dešinysis pomedis tapo per aukštas (kairė–dešinė atvejis). Koks taisymas taikomas?

  1. AKairysis posūkis kairiajame vaike, tada dešinysis posūkis mazge
  2. BVienas dešinysis posūkis mazge
  3. CDešinysis posūkis kairiajame vaike, tada kairysis posūkis mazge
  4. DVienas kairysis posūkis mazge
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 19 viršūnių ir 22 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 19|E| = 22
k =
6.Grafų teorijaSunkus
1517281114ABCDE

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Pasirinkti anksčiausiai pasibaigiančią veiklą, tada kartoti su suderinamomis

Kodėl tai yra atsakymas

Anksčiausios pabaigos pasirinkimo optimalumą galima įrodyti mainų argumentu; kitoms taisyklėms yra kontrpavyzdžių.

Atsakymas

A · Pasirinkti anksčiausiai pasibaigiančią veiklą, tada kartoti su suderinamomis
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Susumavus nuslinkimo žemyn (sift-down) kainas per visus lygius gaunama konverguojanti eilutė, todėl krūvos sudarymas (heapify) vyksta per tiesinį laiką.

Atsakymas

D · O(n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Tai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės

Kodėl tai yra atsakymas

Pilnumas reiškia, kad nėra tarpų, todėl indekso i vaikai visada yra 2i + 1 ir 2i + 2.

Atsakymas

D · Tai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Kairysis posūkis kairiajame vaike, tada dešinysis posūkis mazge

Kodėl tai yra atsakymas

Pirmasis posūkis kairė–dešinė atvejį paverčia kairė–kairė atveju, kurį tada ištaiso dešinysis posūkis nesubalansuotame mazge.

Atsakymas

A · Kairysis posūkis kairiajame vaike, tada dešinysis posūkis mazge
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 4

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

19 − 1 = 18

Pašalintinos briaunos

k = 22 − 18 = 4

Atsakymas

k = 4
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 26

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

CE (1): imti
BC (2): imti
BE (4): praleisti, uždaro ciklą
BD (8): imti
DE (11): praleisti, uždaro ciklą
AB (15): imti

Bendras svoris

W = 1 + 2 + 8 + 15 = 26

Atsakymas

W = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms