Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = T(n − 1) + O(1) sprendinys?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ką nustatė Cooko–Levino teorema?

  1. AP nelygu NP
  2. BKiekvieną NP uždavinį galima išspręsti per eksponentinį laiką
  3. CLoginio įvykdomumo uždavinys (SAT) yra NP-pilnas
  4. DStabdymo problema yra neišsprendžiama
3.Duomenų struktūrosVidutinis

AVL medžiai ir raudonai juodi medžiai garantuoja:

  1. AO(log n) aukštį perbalansavimo dėka
  2. BKad raktai saugomi įterpimo tvarka
  3. CPastovaus laiko paiešką bet kokiu atveju
  4. DKad nė vienas mazgas neturi dviejų vaikų
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kokios yra vienkrypčio susietojo sąrašo apvertimo vietoje laiko ir papildomos atminties sąnaudos?

  1. AO(1) laiko ir O(1) papildomos atminties
  2. BO(n) laiko ir O(n) papildomos atminties
  3. CO(n) laiko ir O(1) papildomos atminties
  4. DO(n log n) laiko ir O(1) papildomos atminties
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
61785151311517ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Yra n lygmenų, kiekviename atliekamas pastovus darbas, kaip rekursyviai sumuojant masyvą.

Atsakymas

A · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Loginio įvykdomumo uždavinys (SAT) yra NP-pilnas

Kodėl tai yra atsakymas

Cookas ir Levinas nepriklausomai parodė, kad kiekvienas NP uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į SAT, todėl SAT tapo pirmuoju žinomu NP-pilnu uždaviniu.

Atsakymas

C · Loginio įvykdomumo uždavinys (SAT) yra NP-pilnas
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · O(log n) aukštį perbalansavimo dėka

Kodėl tai yra atsakymas

Savaime balansuojantys medžiai išlaiko logaritminį aukštį, todėl paieška, įterpimas ir šalinimas blogiausiu atveju yra O(log n).

Atsakymas

A · O(log n) aukštį perbalansavimo dėka
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(n) laiko ir O(1) papildomos atminties

Kodėl tai yra atsakymas

Laikant tris rodykles (ankstesnę, einamąją, kitą), kiekvieną ryšį galima apversti vienu perėjimu, neišskiriant naujų mazgų.

Atsakymas

C · O(n) laiko ir O(1) papildomos atminties
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Nelyginės viršūnės

0
Oilerio ciklas

Atsakymas

Oilerio ciklas
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 24

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): C: 6
C (6): B: 7, E: 14, G: 21
B (7): D: 14, G: 8
G (8): D: 9
D (9): F: 24
E (14)
F (24)

Trumpiausias kelias

A → C → B → G → D → F
d(F) = 24

Atsakymas

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms