Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.
1Formulės ir metodai
Grafų teorija
Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij
Metodas
Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).
2Uždaviniai
1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis
Rekurentinės lygties T(n) = 2T(n/2) + O(n) sprendinys yra:
AO(n²)
BO(n)
CO(log n)
DO(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus
Kuriuos du dalykus reikia parodyti, norint įrodyti, kad sprendimo uždavinys X yra NP-pilnas?
AX priklauso P, ir X redukuojamas į SAT
BX priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X
CX redukuojamas į P uždavinį, ir X priklauso NP
DX neturi polinominio algoritmo, ir X yra išsprendžiamas
3.Duomenų struktūrosVidutinis
Kokia kaina įterpti elementą į n elementų masyvo vidurį?
AO(log n), dėl dvejetainės paieškos
BO(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti
CO(n²), nes kiekvienas elementas pajuda n kartų
DO(1), nes indeksas žinomas
4.Duomenų struktūrosSunkus
Raktai 5, 3, 8, 1 šia tvarka įterpiami į tuščią masyvu grįstą dvejetainę min krūvą. Koks galutinis masyvas?
A[3, 1, 8, 5]
B[1, 5, 8, 3]
C[1, 3, 5, 8]
D[1, 3, 8, 5]
5.Grafų teorijaVidutinis
Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 2 viršūnių, kurių laipsnis 4, 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, 4 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?
2 × deg 32 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties D? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.
M = gretimumo matricaL = 2
N =
3Tirpalai
1.Algoritmai ir sudėtingumas
Atsakymas: D · O(n log n)
Kodėl tai yra atsakymas
Pagal pagrindinę teoremą (master theorem), kai a = 2, b = 2, f(n) = n, gauname T(n) = Θ(n log n).
Atsakymas
D · O(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas
Atsakymas: B · X priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X
Kodėl tai yra atsakymas
Priklausymas NP rodo, kad X nėra sunkesnis už NP; redukcija iš žinomo NP-pilno uždavinio rodo, kad X yra bent tokio pat sunkumo kaip visa NP klasė.
Atsakymas
B · X priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X
3.Duomenų struktūros
Atsakymas: B · O(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti
Kodėl tai yra atsakymas
Visi elementai po įterpimo vietos pasislenka viena pozicija į dešinę, o tai užtrunka n proporcingą laiką.
Atsakymas
B · O(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti
4.Duomenų struktūros
Atsakymas: D · [1, 3, 8, 5]
Kodėl tai yra atsakymas
Po 5, 3, 8 masyvas yra [3, 5, 8]; 1 patenka į indeksą 3, susikeičia su tėvu 5, o tada su 3, todėl gaunama [1, 3, 8, 5].
Atsakymas
D · [1, 3, 8, 5]
5.Grafų teorija
Atsakymas: L = 20
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Rankų paspaudimo lema medžiui
L + 42 = 2(L + 12) − 2
L = 20
Atsakymas
L = 20
Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.
6.Grafų teorija
Atsakymas: N = 1
Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.