Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Maždaug kiek palyginimų blogiausiu atveju reikia dvejetainei paieškai surikiuotame 1,000,000 elementų masyve?

  1. AApie 100
  2. BApie 500,000
  3. CApie 1,000
  4. DApie 20
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuriuos du dalykus reikia parodyti, norint įrodyti, kad sprendimo uždavinys X yra NP-pilnas?

  1. AX neturi polinominio algoritmo, ir X yra išsprendžiamas
  2. BX priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X
  3. CX priklauso P, ir X redukuojamas į SAT
  4. DX redukuojamas į P uždavinį, ir X priklauso NP
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Prefiksų medis (trie) ypač efektyvus:

  1. AMatricų saugojimui
  2. BSkaičių rikiavimui
  3. CPrefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui
  4. DTrumpiausių kelių paieškai
4.Duomenų struktūrosSunkus

Bloomo filtras į klausimą „ar šis elementas yra aibėje?“ gali atsakyti:

  1. ASu galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų
  2. BSu galimais klaidingai neigiamais, bet be klaidingai teigiamų atsakymų
  3. CVisada tiksliai
  4. DTik skaičiams
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 6 viršūnių ir 10 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 6|E| = 10
k =
6.Grafų teorijaSunkus
912134141918ABCDEF

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės B. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 3.

pradžia: Bk = 3
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna CE
  5. 5briauna DE
  6. 6briauna DF
  7. 7briauna EF
  8. 8briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Apie 20

Kodėl tai yra atsakymas

220 ≈ 1,048,576, todėl po maždaug 20 dalijimų pusiau lieka tik vienas elementas.

Atsakymas

D · Apie 20
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · X priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X

Kodėl tai yra atsakymas

Priklausymas NP rodo, kad X nėra sunkesnis už NP; redukcija iš žinomo NP-pilno uždavinio rodo, kad X yra bent tokio pat sunkumo kaip visa NP klasė.

Atsakymas

B · X priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Prefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui

Kodėl tai yra atsakymas

Trie saugo eilutes simboliais keliuose, todėl paieška ir prefiksų užklausos trunka laiką, proporcingą rakto ilgiui.

Atsakymas

C · Prefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Su galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų

Kodėl tai yra atsakymas

Jei bet kuris elemento bitas lygus 0, elemento tikrai nėra; jei visi lygūs 1, jis tikriausiai yra. Bloomo filtrai iškeičia tikslumą į labai mažą atminties sąnaudą.

Atsakymas

A · Su galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 5

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

6 − 1 = 5

Pašalintinos briaunos

k = 10 − 5 = 5

Atsakymas

k = 5
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna CE

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. BC (2)
2. AC (1)
3. CE (13)
4. DE (4)
5. DF (14)

briaunos numeris 3

CE

Atsakymas

briauna CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms