Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = T(n − 1) + O(n) sprendinys?

AO(2ⁿ)
BO(n)
CO(n²)
DO(n log n)

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris iš šių įvykdomumo uždavinių, kaip žinoma, išsprendžiamas per polinominį laiką?

A2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai
B3-SAT, kai kiekviename disjunkte yra lygiai trys literalai
CLoginės schemos įvykdomumas
DBendrasis SAT konjunkcinės normaliosios formos formulėms

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia postfiksinio reiškinio 3 4 + 2 * reikšmė?

4.Duomenų struktūrosSunkus

AVL mazgas nesubalansuotas, nes jo kairiojo vaiko dešinysis pomedis tapo per aukštas (kairė–dešinė atvejis). Koks taisymas taikomas?

AVienas kairysis posūkis mazge
BKairysis posūkis kairiajame vaike, tada dešinysis posūkis mazge
CVienas dešinysis posūkis mazge
DDešinysis posūkis kairiajame vaike, tada kairysis posūkis mazge

5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K₄? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K₄

H =

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F

d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(n²)

Kodėl tai yra atsakymas

Darbas susumuoja iki maždaug n² / 2; tai rikiavimo išrinkimu arba greitojo rikiavimo su blogiausiu atraminiu elementu rekurentinė lygtis.

Atsakymas

C · O(n²)

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · 2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai

Kodėl tai yra atsakymas

2-SAT priklauso P (tiesinis laikas per stipriai jungias komponentes), o 3-SAT yra NP-pilnas.

Atsakymas

A · 2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · 14

Kodėl tai yra atsakymas

Įdedami 3 ir 4, + duoda 7; įdedamas 2, * duoda 7 × 2 = 14.

Atsakymas

C · 14

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Kairysis posūkis kairiajame vaike, tada dešinysis posūkis mazge

Kodėl tai yra atsakymas

Pirmasis posūkis kairė–dešinė atvejį paverčia kairė–kairė atveju, kurį tada ištaiso dešinysis posūkis nesubalansuotame mazge.

Atsakymas

B · Kairysis posūkis kairiajame vaike, tada dešinysis posūkis mazge

5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 3

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Atsakymas

H = 3

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 12

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 2, C: 2

B (2): D: 11, E: 3

C (2)

E (3): F: 12

D (11)

F (12)

Trumpiausias kelias

A → B → E → F

d(F) = 12

Atsakymas

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms