Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuris algoritmas randa trumpiausius kelius iš vienos pradinės viršūnės grafe, kurio briaunų svoriai neneigiami?

  1. APaieška gilyn (DFS)
  2. BVisais atvejais būtinas Belmano–Fordo algoritmas
  3. CKruskalo algoritmas
  4. DDijkstros algoritmas
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ką reikia padaryti, norint parodyti, kad naujas uždavinys X yra NP-sunkus?

  1. APer polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X
  2. BParodyti, kad X galima patikrinti per polinominį laiką
  3. CPer polinominį laiką redukuoti X į žinomą NP-sunkų uždavinį
  4. DParodyti, kad X neturi polinominio algoritmo mažoms įvestims
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek atminties naudoja gretimumo sąrašas grafui su V viršūnių ir E briaunų?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E²)
  4. DO(V²)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri duomenų struktūra leidžia LRU (least recently used) podėlį su O(1) get ir put operacijomis?

  1. ATik stekas
  2. BMaišos žemėlapis kartu su dvikrypčiu susietuoju sąrašu
  3. CVienas surikiuotas masyvas
  4. DTik dvejetainis paieškos medis
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
7131449141118ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki D svertiniame grafe ilgį d(D).

pradžia: Apabaiga: D
d(D) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Dijkstros algoritmas

Kodėl tai yra atsakymas

Dijkstros algoritmas veikia su neneigiamais svoriais; Belmano–Fordo algoritmas tinka ir neigiamiems svoriams; Kruskalo algoritmas sudaro minimalius jungiamuosius medžius.

Atsakymas

D · Dijkstros algoritmas
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X

Kodėl tai yra atsakymas

Jei žinomą sunkų uždavinį galima efektyviai transformuoti į X, greitas X algoritmas išspręstų ir žinomą uždavinį.

Atsakymas

A · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · O(V + E)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekviena viršūnė turi sąrašą, o kiekviena briauna pasirodo vieną kartą (kryptiniame) arba dukart (nekryptiniame grafe), todėl gaunama O(V + E).

Atsakymas

B · O(V + E)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Maišos žemėlapis kartu su dvikrypčiu susietuoju sąrašu

Kodėl tai yra atsakymas

Maišos žemėlapis randa mazgus per O(1), o dvikryptis susietasis sąrašas perkelia naudotus elementus į priekį ir pašalina iš galo per O(1).

Atsakymas

B · Maišos žemėlapis kartu su dvikrypčiu susietuoju sąrašu
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Nelyginės viršūnės

B, C → 2
Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(D) = 21

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 7
B (7): C: 20, D: 21, G: 18
G (18): C: 19, E: 26
C (19): E: 23
D (21): F: 30
E (23)
F (30)

Trumpiausias kelias

A → B → D
d(D) = 21

Atsakymas

d(D) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms