Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra dviejų n × n matricų daugybos standartiniu trigubu ciklu laiko sudėtingumas?

  1. AO(n³)
  2. BO(n²)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuriam kuprinės uždavinio variantui godžioji taisyklė „imti daiktus pagal vertės ir svorio santykį“ visada duoda optimalų atsakymą?

  1. A0/1 kuprinei, kai daiktai visada imami ištisi
  2. BAbiem variantams
  3. CNė vienam variantui
  4. DTrupmeninei kuprinei, kai daiktus galima dalyti
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip naujas elementas įterpiamas į dvejetainę krūvą?

  1. AĮterpiamas į surikiuotą poziciją, pastumiant visus didesnius elementus viena vieta į dešinę
  2. BPadedamas šaknyje ir leidžiamas žemyn
  3. CVisa krūva perstatoma iš naujo
  4. DPadedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Objektas saugomas kaip raktas maišos atvaizdyje, o paskui pakeičiamas laukas, kurį naudoja jo maišos funkcija. Koks tikėtinas rezultatas?

  1. AObjekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire
  2. BAtvaizdis automatiškai perkelia raktą į naują kibirą
  3. CNiekas nepasikeičia, nes rakto maišos reikšmė skaičiuojama tik vieną kartą programai pasileidus
  4. DAtvaizdis išmeta klaidą tą akimirką, kai laukas pasikeičia
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, 3 viršūnių, kurių laipsnis 5, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 33 × deg 43 × deg 5
L =
6.Grafų teorijaSunkus
178510201129ABCDEF

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 5; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 5
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna CE
  5. 5briauna DE
  6. 6briauna DF
  7. 7briauna EF
  8. 8briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n³)

Kodėl tai yra atsakymas

Yra n² elementų, ir kiekvienam reikia n daugybų, todėl gaunama n³ operacijų.

Atsakymas

A · O(n³)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Trupmeninei kuprinei, kai daiktus galima dalyti

Kodėl tai yra atsakymas

Kai daiktus galima dalyti, geriausio santykio pirmenybė optimali; 0/1 kuprinėje didelio santykio daiktas gali užblokuoti geresnį derinį, todėl reikia dinaminio programavimo.

Atsakymas

D · Trupmeninei kuprinei, kai daiktus galima dalyti
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Padedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę

Kodėl tai yra atsakymas

Pridėjimas gale išlaiko medį pilną; keitimasis vietomis su tėvu atkuria tvarką per O(log n) žingsnių.

Atsakymas

D · Padedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Objekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire

Kodėl tai yra atsakymas

Rakto vieta buvo parinkta pagal senąją maišos reikšmę; su nauja maišos reikšme paieška ieško netinkamame kibire, todėl raktai turėtų būti nekeičiami.

Atsakymas

A · Objekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 19

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 33 = 2(L + 8) − 2
L = 19

Atsakymas

L = 19

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna EF

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. DF (1)
2. BC (5)
3. AC (8)
4. BE (9)
5. EF (12)

briaunos numeris 5

EF

Atsakymas

briauna EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms