Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Dinaminis programavimas naudingas, kai uždavinys turi:

ATik atsitiktinius įvesties duomenis
BPersidengiančius poproblemius ir optimalią postruktūrą
CVisai jokių poproblemių, todėl jį galima išspręsti vienu žingsniu
DVieną ciklą

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris NP klasės apibrėžimas teisingas?

AUždaviniai, kurių negalima išspręsti per polinominį laiką
BUždaviniai, kurių neišsprendžia joks algoritmas
CUždaviniai, kurie nėra polinominiai
DSprendimo uždaviniai, kurių teigiamus atsakymus, turint sertifikatą, galima patikrinti per polinominį laiką

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Eilė įgyvendinta dviem stekais: push atliekamas į steką „in“, o pop – iš steko „out“, kuris, ištuštėjęs, papildomas iš „in“. Kokia amortizuota vienos operacijos kaina?

AO(n)
BO(log n)
CO(1)
DO(n²)

4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl serveris galėtų savo maišos funkciją atsitiktinai parinkti iš universaliosios šeimos?

AKad būtų labai mažai tikėtina, jog užpuolikas parinks daug raktų, kurie visi susiduria
BKad maišos lentelė būtų surikiuota
CKad garantuotų, jog jokie du raktai niekada nesusidurs, kokius raktus beišsiųstų užpuolikas
DKad nebereikėtų keisti lentelės dydžio

5.Grafų teorijaVidutinis

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 9

1Oilerio ciklas
2Oilerio kelias, ne ciklas
3nei viena

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmas vykdomas nuo A. Spustelėkite viršūnę, užfiksuojamą (padaromą galutine) 3 etape; pats A yra 1 etapas.

pradžia: Aetapas 3

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Persidengiančius poproblemius ir optimalią postruktūrą

Kodėl tai yra atsakymas

Persidengiančių poproblemių rezultatų įsiminimas (memoizacija arba lentelių sudarymas) leidžia išvengti pakartotinio darbo ir paverčia eksponentinius algoritmus polinominiais.

Atsakymas

B · Persidengiančius poproblemius ir optimalią postruktūrą

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Sprendimo uždaviniai, kurių teigiamus atsakymus, turint sertifikatą, galima patikrinti per polinominį laiką

Kodėl tai yra atsakymas

NP uždaviniui pasiūlytą sprendinį (sertifikatą) galima greitai patikrinti, pvz., patikrinti, ar duotas priskyrimas tenkina loginę formulę.

Atsakymas

D · Sprendimo uždaviniai, kurių teigiamus atsakymus, turint sertifikatą, galima patikrinti per polinominį laiką

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(1)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas elementas iš viso daugiausia dukart įdedamas ir išimamas, todėl nors vienas papildymas gali užtrukti O(n), vidurkis per seką yra O(1).

Atsakymas

C · O(1)

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Kad būtų labai mažai tikėtina, jog užpuolikas parinks daug raktų, kurie visi susiduria

Kodėl tai yra atsakymas

Taikant universalųjį maišymą, tikėtinas kolizijų skaičius bet kuriai raktų aibei mažas, nes užpuolikas nežino, kuri funkcija parinkta.

Atsakymas

A · Kad būtų labai mažai tikėtina, jog užpuolikas parinks daug raktų, kurie visi susiduria

5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Nelyginės viršūnės

C, D → 2

Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: D

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

1. A (0): B: 3

2. B (3): C: 13, D: 7, E: 8

3. D (7): F: 19

4. E (8): C: 12

5. C (12)

6. F (19)

etapas 3

Atsakymas

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms