Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = T(n − 1) + O(n) sprendinys?

AO(n log n)
BO(2ⁿ)
CO(n)
DO(n²)

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris iš šių įvykdomumo uždavinių, kaip žinoma, išsprendžiamas per polinominį laiką?

A3-SAT, kai kiekviename disjunkte yra lygiai trys literalai
BLoginės schemos įvykdomumas
C2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai
DBendrasis SAT konjunkcinės normaliosios formos formulėms

3.Duomenų struktūrosVidutinis

7 dydžio maišos lentelė naudoja h(k) = k mod 7 ir tiesinį zondavimą. Kur saugomas 17, įterpus 10?

AIndeksu 3
BIndeksu 6
CIndeksu 0
DIndeksu 4

4.Duomenų struktūrosSunkus

Kokia blogiausio atvejo vienos find operacijos kaina union-find struktūroje su n elementų, nenaudojant jungimo pagal rangą ir kelio suspaudimo?

AO(log n)
BO(n)
CO(α(n))
DO(1)

5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 10 viršūnių ir 19 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 10|E| = 19

k =

6.Grafų teorijaSunkus

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 4; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 4

1briauna AB
2briauna AC
3briauna BC
4briauna BD
5briauna CE
6briauna DE
7briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(n²)

Kodėl tai yra atsakymas

Darbas susumuoja iki maždaug n² / 2; tai rikiavimo išrinkimu arba greitojo rikiavimo su blogiausiu atraminiu elementu rekurentinė lygtis.

Atsakymas

D · O(n²)

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · 2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai

Kodėl tai yra atsakymas

2-SAT priklauso P (tiesinis laikas per stipriai jungias komponentes), o 3-SAT yra NP-pilnas.

Atsakymas

C · 2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Indeksu 4

Kodėl tai yra atsakymas

10 mod 7 = 3 ir 17 mod 7 = 3; indeksas 3 užimtas, todėl tiesinis zondavimas bando kitą vietą – indeksą 4.

Atsakymas

D · Indeksu 4

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Naivūs sujungimai gali sudėti medžius į ilgą grandinę, todėl find gali tekti pereiti n − 1 tėvo rodyklių; abi euristikos tai priartina prie konstantos.

Atsakymas

B · O(n)

5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 10

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

10 − 1 = 9

Pašalintinos briaunos

k = 19 − 9 = 10

Atsakymas

k = 10

6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna AC

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. CE (7)

2. BD (8)

3. BE (9)

4. AC (15)

briaunos numeris 4

Atsakymas

briauna AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms