Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra šio kodo laiko sudėtingumas: for i = 1 to n: for j = 1 to i: atlikti O(1) darbą?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n³)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kaip dideliems n palyginami n! ir 2ⁿ?

  1. An! yra O(n²)
  2. Bn! auga greičiau už 2ⁿ
  3. CJie auga vienodu greičiu
  4. D2ⁿ auga greičiau už n!
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kuris kolizijų sprendimo metodas saugo susidūrusius raktus sąraše tame pačiame kibire?

  1. ADvigubas maišymas
  2. BKvadratinis zondavimas
  3. CTiesinis zondavimas
  4. DAtskiros grandinės (separate chaining)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Koks paieškos platyn vykdymo laikas grafui su V viršūnių, saugomam gretimumo matrica?

  1. AO(V)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 3 viršūnių, kurių laipsnis 3, 4 viršūnių, kurių laipsnis 4, 3 viršūnių, kurių laipsnis 5, 2 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

3 × deg 34 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
91091471217ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(n²)

Kodėl tai yra atsakymas

Vidinis kūnas iš viso vykdomas n(n + 1) / 2 kartų, o tai vis tiek kvadratinis dydis.

Atsakymas

C · O(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · n! auga greičiau už 2ⁿ

Kodėl tai yra atsakymas

Kai n ≥ 4, n! viršija 2ⁿ, o santykis auga neaprėžtai, nes kiekvienas papildomas n! daugiklis didesnis už 2.

Atsakymas

B · n! auga greičiau už 2ⁿ
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Atskiros grandinės (separate chaining)

Kodėl tai yra atsakymas

Grandinių metodas kiekvienam kibirui laiko susietąjį sąrašą (ar kitą struktūrą); atvirasis adresavimas ieško kitos laisvos vietos pačioje lentelėje.

Atsakymas

D · Atskiros grandinės (separate chaining)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(V²)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekviena iš V viršūnių peržiūri V įrašų eilutę, todėl gaunama O(V²); su gretimumo sąrašais BFS yra O(V + E).

Atsakymas

C · O(V²)
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 22

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22

Atsakymas

L = 22

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 24

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): C: 9
C (9): B: 19, E: 23
B (19): D: 28
E (23): F: 24
F (24)
D (28)

Trumpiausias kelias

A → C → E → F
d(F) = 24

Atsakymas

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms