Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kodėl didžiojo O žymėjime logaritmo pagrindas paprastai nenurodomas, kaip O(log n)?

AVisų logaritmų informatikoje pagrindas yra 10, todėl jis numanomas
BLogaritmai visada apvalinami iki sveikųjų skaičių
CPagrindas svarbus tik mažiems n
DSkirtingų pagrindų logaritmai skiriasi tik pastoviu daugikliu

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kas išplauktų, jei kas nors rastų polinominio laiko algoritmą vienam NP-pilnam uždaviniui?

ATik tas vienas uždavinys pereitų į P
BStabdymo problema taptų išsprendžiama
CVisi eksponentinio laiko algoritmai nedelsiant imtų veikti tiesiniu laiku
DKiekvieną NP uždavinį būtų galima išspręsti per polinominį laiką, taigi P = NP

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek atminties naudoja grafo su V viršūnių gretimumo matrica?

AO(V + E)
BO(V²)
CO(E)
DO(log V)

4.Duomenų struktūrosSunkus

Žiediniame buferyje front == rear gali reikšti, kad jis tuščias arba pilnas. Koks dažnas būdas juos atskirti?

ABuferio dydį padaryti dvejeto laipsniu
BFront ir rear saugoti tame pačiame kintamajame
CVisada išvalyti buferį, kai front lygus rear, kad būsena būtų tuščia
DLaikyti atskirą elementų skaitiklį arba visada palikti vieną vietą nenaudojamą

5.Grafų teorijaVidutinis

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 10

1Oilerio ciklas
2Oilerio kelias, ne ciklas
3nei viena

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki E svertiniame grafe ilgį d(E).

pradžia: Apabaiga: E

d(E) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Skirtingų pagrindų logaritmai skiriasi tik pastoviu daugikliu

Kodėl tai yra atsakymas

Pakeitus pagrindą, logaritmas padauginamas iš konstantos, o didysis O nepaiso pastovių daugiklių.

Atsakymas

D · Skirtingų pagrindų logaritmai skiriasi tik pastoviu daugikliu

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Kiekvieną NP uždavinį būtų galima išspręsti per polinominį laiką, taigi P = NP

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi visa NP klasė per polinominį laiką redukuojama į bet kurį NP-pilną uždavinį, greitas algoritmas vienam duoda greitą algoritmą visiems.

Atsakymas

D · Kiekvieną NP uždavinį būtų galima išspręsti per polinominį laiką, taigi P = NP

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · O(V²)

Kodėl tai yra atsakymas

Gretimumo matrica saugo V × V įrašų, tai efektyvu tankiems grafams; gretimumo sąrašai naudoja O(V + E) ir geriau tinka retiems grafams.

Atsakymas

B · O(V²)

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Laikyti atskirą elementų skaitiklį arba visada palikti vieną vietą nenaudojamą

Kodėl tai yra atsakymas

Su skaitikliu tuščias reiškia count = 0, o pilnas – count = talpa; palikus vieną tuščią vietą, pilnas apibrėžiamas kaip (rear + 1) mod n == front.

Atsakymas

D · Laikyti atskirą elementų skaitiklį arba visada palikti vieną vietą nenaudojamą

5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Nelyginės viršūnės

C, G → 2

Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(E) = 14

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 5

B (5): C: 12, D: 16, E: 14

C (12)

E (14): F: 20

D (16): F: 19

F (19)

Trumpiausias kelias

A → B → E

d(E) = 14

Atsakymas

d(E) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms