Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Greitasis rikiavimas visada kaip atraminį elementą naudoja pirmąjį elementą. Su kokia įvestimi jis elgiasi blogiausiai?

  1. ASu masyvu, kurio visi elementai skirtingi
  2. BSu 2 ilgio masyvu
  3. CSu atsitiktinės tvarkos masyvu
  4. DSu jau surikiuotu masyvu
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris rėžis teisingas log(n!)?

  1. AΘ(log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek atminties naudoja grafo su V viršūnių gretimumo matrica?

  1. AO(V + E)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V²)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuris teiginys apie rikiavimą krūva (heapsort) teisingas?

  1. ASu bet kokia įvestimi jis veikia per O(n)
  2. BJam reikia dvejetainio paieškos medžio kaip papildomos atminties, todėl jis naudoja O(n) papildomos atminties
  3. CJis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus
  4. DJis stabilus ir jam reikia O(n) papildomos atminties
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 9 viršūnių ir 11 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 9|E| = 11
k =
6.Grafų teorijaSunkus
15123411117ABCDE

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Su jau surikiuotu masyvu

Kodėl tai yra atsakymas

Surikiuotoje įvestyje atraminis elementas visada yra minimumas, todėl viena pusė tuščia, o kitoje n − 1 elementų, ir gaunama O(n²).

Atsakymas

D · Su jau surikiuotu masyvu
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Θ(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

log(n!) ≤ n log n, o didžiausi n / 2 daugiklių duoda log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); todėl rikiavimui palyginimais reikia Ω(n log n).

Atsakymas

D · Θ(n log n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(V²)

Kodėl tai yra atsakymas

Gretimumo matrica saugo V × V įrašų, tai efektyvu tankiems grafams; gretimumo sąrašai naudoja O(V + E) ir geriau tinka retiems grafams.

Atsakymas

D · O(V²)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Jis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimas krūva sudaro max krūvą ir n kartų išima maksimumą tame pačiame masyve; sukeitimai dideliais atstumais gali pakeisti vienodų raktų tvarką.

Atsakymas

C · Jis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 3

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

9 − 1 = 8

Pašalintinos briaunos

k = 11 − 8 = 3

Atsakymas

k = 3
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 20

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

DE (1): imti
BC (3): imti
BD (4): imti
CE (11): praleisti, uždaro ciklą
AC (12): imti

Bendras svoris

W = 1 + 3 + 4 + 12 = 20

Atsakymas

W = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms