Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra Bellmano–Fordo algoritmo laiko sudėtingumas grafui su V viršūnių ir E briaunų?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V × E)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris rėžis teisingas log(n!)?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

AVL medžiai ir raudonai juodi medžiai garantuoja:

  1. APastovaus laiko paiešką bet kokiu atveju
  2. BKad nė vienas mazgas neturi dviejų vaikų
  3. CO(log n) aukštį perbalansavimo dėka
  4. DKad raktai saugomi įterpimo tvarka
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kurią savybę turi tenkinti raudonai juodas medis?

  1. AKiekvienas raudonas mazgas turi turėti raudonus vaikus, todėl raudoni mazgai visada sudaro nenutrūkstamas grandines iki lapų
  2. BKiekviename kelyje nuo mazgo iki jo palikuonių lapų yra vienodas juodų mazgų skaičius
  3. CŠaknis turi būti raudona
  4. DKiekvienas mazgas turi būti raudonas
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 3 ilgio maršrutų iš A į C? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 3
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(V × E)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas iš V − 1 etapų relaksuoja visas E briaunas, todėl gaunama O(VE); mainais algoritmas tvarkosi su neigiamais briaunų svoriais.

Atsakymas

D · O(V × E)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Θ(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

log(n!) ≤ n log n, o didžiausi n / 2 daugiklių duoda log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); todėl rikiavimui palyginimais reikia Ω(n log n).

Atsakymas

B · Θ(n log n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(log n) aukštį perbalansavimo dėka

Kodėl tai yra atsakymas

Savaime balansuojantys medžiai išlaiko logaritminį aukštį, todėl paieška, įterpimas ir šalinimas blogiausiu atveju yra O(log n).

Atsakymas

C · O(log n) aukštį perbalansavimo dėka
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Kiekviename kelyje nuo mazgo iki jo palikuonių lapų yra vienodas juodų mazgų skaičius

Kodėl tai yra atsakymas

Raudonai juodo medžio taisyklės: mazgai raudoni arba juodi, šaknis juoda, raudonų mazgų vaikai juodi, o visų kelių juodasis aukštis vienodas, todėl aukštis ≤ 2 log₂(n + 1).

Atsakymas

B · Kiekviename kelyje nuo mazgo iki jo palikuonių lapų yra vienodas juodų mazgų skaičius
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Nelyginės viršūnės

D, E → 2
Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 5

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Dar vienas žingsnis

(M³)AC = 2·1 + 1·1 + 1·0 + 0·0 + 2·1 = 5

Atsakymas

N = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms