Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra LSD pozicinio rikiavimo (radix sort) vykdymo laikas n sveikųjų skaičių, turinčių d skaitmenų k pagrindo sistemoje?

  1. AO(n²)
  2. BO(dn log k)
  3. CO(n log n)
  4. DO(d(n + k))
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kaip dideliems n palyginami n! ir 2ⁿ?

  1. An! auga greičiau už 2ⁿ
  2. BJie auga vienodu greičiu
  3. Cn! yra O(n²)
  4. D2ⁿ auga greičiau už n!
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek laiko užtrunka patikrinti, ar briauna (u, v) egzistuoja, naudojant gretimumo matricą?

  1. AO(E)
  2. BO(1)
  3. CO(V)
  4. DO(log V)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Struktūros union-find (nesikertančios aibės) su jungimu pagal rangą ir kelio suspaudimu amortizuota vienos operacijos kaina yra:

  1. AO(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi
  2. BO(n)
  3. CTiksliai O(log n)
  4. DO(n²)
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

3 × deg 4
L =
6.Grafų teorijaSunkus
1328107531316ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(d(n + k))

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas iš d perėjimų yra rikiavimas skaičiavimu, kainuojantis O(n + k), todėl esant fiksuotiems d ir k bendras laikas tiesinis n atžvilgiu.

Atsakymas

D · O(d(n + k))
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · n! auga greičiau už 2ⁿ

Kodėl tai yra atsakymas

Kai n ≥ 4, n! viršija 2ⁿ, o santykis auga neaprėžtai, nes kiekvienas papildomas n! daugiklis didesnis už 2.

Atsakymas

A · n! auga greičiau už 2ⁿ
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · O(1)

Kodėl tai yra atsakymas

Matricos įrašas u eilutėje ir v stulpelyje iš karto parodo, ar briauna egzistuoja; gretimumo sąraše gali tekti peržiūrėti u kaimynus.

Atsakymas

B · O(1)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · O(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi

Kodėl tai yra atsakymas

Taikant abi optimizacijas, operacijos trunka O(α(n)) amortizuoto laiko; α(n) ≤ 4 bet kokiam realiam n.

Atsakymas

A · O(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 8

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

Atsakymas

L = 8

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 17

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 13, C: 2
C (2): E: 12, G: 15
E (12): D: 19, F: 17
B (13)
G (15): D: 16
D (16)
F (17)

Trumpiausias kelias

A → C → E → F
d(F) = 17

Atsakymas

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms