Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Greitasis rikiavimas visada kaip atraminį elementą naudoja pirmąjį elementą. Su kokia įvestimi jis elgiasi blogiausiai?

  1. ASu masyvu, kurio visi elementai skirtingi
  2. BSu jau surikiuotu masyvu
  3. CSu atsitiktinės tvarkos masyvu
  4. DSu 2 ilgio masyvu
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kaip Bellmano–Fordo algoritmas aptinka iš šaltinio pasiekiamą neigiamo svorio ciklą?

  1. AJis patikrina, ar kuri nors briauna turi neigiamą svorį
  2. BJis du kartus paleidžia Dijkstros algoritmą ir palygina abu atstumų rezultatus
  3. CPo V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti
  4. DJis suskaičiuoja ciklus paieška gilyn
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainio paieškos medžio mazgas turi dešinįjį pomedį. Kur yra jo in-order įpėdinis?

  1. AVisada jo dešinysis vaikas
  2. BKairiausias jo dešiniojo pomedžio mazgas
  3. CVisada jo tėvas
  4. DDešiniausias jo kairiojo pomedžio mazgas
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kiekvienam masyvo elementui norite rasti artimiausią didesnį elementą į dešinę, iš viso per O(n). Kuri struktūra padeda?

  1. AKiekvienam elementui iš naujo sudaromas dvejetainis paieškos medis
  2. BStekas, kuriame laikomi atsakymo laukiantys elementai
  3. CEilė, laikanti kiekvieną elementų porą
  4. DVisų elementų maišos lentelė
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 7 viršūnių ir 17 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 7|E| = 17
k =
6.Grafų teorijaSunkus
612201619183155ABCDEFG

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės D. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 6.

pradžia: Dk = 6
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna BC
  3. 3briauna BD
  4. 4briauna DE
  5. 5briauna DF
  6. 6briauna EF
  7. 7briauna GB
  8. 8briauna GD
  9. 9briauna GE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Su jau surikiuotu masyvu

Kodėl tai yra atsakymas

Surikiuotoje įvestyje atraminis elementas visada yra minimumas, todėl viena pusė tuščia, o kitoje n − 1 elementų, ir gaunama O(n²).

Atsakymas

B · Su jau surikiuotu masyvu
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Po V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti

Kodėl tai yra atsakymas

Visi tikrieji trumpiausi atstumai randami per V − 1 etapą; jei kurią nors briauną vis dar galima pagerinti, turi egzistuoti neigiamas ciklas.

Atsakymas

C · Po V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Kairiausias jo dešiniojo pomedžio mazgas

Kodėl tai yra atsakymas

Visi didesni, mazgui artimi raktai yra jo dešiniajame pomedyje, o mažiausias iš jų yra ten esantis kairiausias mazgas.

Atsakymas

B · Kairiausias jo dešiniojo pomedžio mazgas
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Stekas, kuriame laikomi atsakymo laukiantys elementai

Kodėl tai yra atsakymas

Einant iš kairės į dešinę, iš steko išimami visi už einamąjį mažesni elementai (einamasis elementas yra jų atsakymas), tada jis įdedamas; kiekvienas elementas juda daugiausia dukart.

Atsakymas

B · Stekas, kuriame laikomi atsakymo laukiantys elementai
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 11

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

7 − 1 = 6

Pašalintinos briaunos

k = 17 − 6 = 11

Atsakymas

k = 11
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna EF

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. GD (15)
2. GB (3)
3. GE (5)
4. AB (6)
5. BC (12)
6. EF (18)

briaunos numeris 6

EF

Atsakymas

briauna EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms