Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra n-tojo Fibonačio skaičiaus skaičiavimo laiko sudėtingumas, naudojant lentelę „iš apačios į viršų“?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris teiginys apie k-ojo mažiausio nesurikiuoto masyvo elemento išrinkimą teisingas?

  1. AIšrinkimas įmanomas tik per O(n²)
  2. BQuickselect blogiausiu atveju veikia per O(log n), nes rekursija vyksta tik į vieną atramos elemento pusę
  3. CQuickselect veikia per tikėtiną O(n), o medianų medianos metodas garantuoja O(n) blogiausiu atveju
  4. DIšrinkimui visada reikia Ω(n log n), nes reikia rikiavimo
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kurį abstraktųjį duomenų tipą Dijkstros algoritmas naudoja kitai apdorojamai viršūnei parinkti?

  1. AMin prioritetinę eilę
  2. BFIFO eilę
  3. CSteką
  4. DNesutvarkytą aibę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri struktūra leidžia apskaičiuoti kiekvieno k dydžio masyvo lango maksimumą iš viso per O(n)?

  1. APastūmimais atnaujinamas surikiuotas masyvas
  2. BLango elementų vienkrypčis susietasis sąrašas
  3. CDekas, laikantis indeksus mažėjančia reikšmių tvarka
  4. DKiekvienam langui iš naujo sudaroma min krūva
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 4, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 4
L =
6.Grafų teorijaSunkus
38810315115ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Užpildant lentelę nuo 0 iki n, kiekvienam įrašui reikia vienos sudėties, todėl darbas tiesinis, o ne eksponentinis.

Atsakymas

C · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Quickselect veikia per tikėtiną O(n), o medianų medianos metodas garantuoja O(n) blogiausiu atveju

Kodėl tai yra atsakymas

Su atsitiktiniais atraminiais elementais quickselect tikėtinas darbas yra n + n/2 + n/4 + ... = O(n); atraminį elementą parenkant kaip medianų medianą, blogiausias atvejis tampa tiesinis.

Atsakymas

C · Quickselect veikia per tikėtiną O(n), o medianų medianos metodas garantuoja O(n) blogiausiu atveju
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Min prioritetinę eilę

Kodėl tai yra atsakymas

Min prioritetinė eilė, paprastai dvejetainė krūva, efektyviai grąžina neaplankytą viršūnę su mažiausiu atstumu.

Atsakymas

A · Min prioritetinę eilę
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Dekas, laikantis indeksus mažėjančia reikšmių tvarka

Kodėl tai yra atsakymas

Deko priekis visada yra lango maksimumas; kiekvienas indeksas į deką patenka ir iš jo išeina vieną kartą, todėl darbas tiesinis.

Atsakymas

C · Dekas, laikantis indeksus mažėjančia reikšmių tvarka
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 6

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 8 = 2(L + 2) − 2
L = 6

Atsakymas

L = 6

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 12

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 3, C: 8
B (3): D: 11, G: 8
C (8): E: 18
G (8): E: 13
D (11): F: 12
F (12)
E (13)

Trumpiausias kelias

A → B → D → F
d(F) = 12

Atsakymas

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms