Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = T(n − 1) + O(n) sprendinys?

AO(n²)
BO(n log n)
CO(2ⁿ)
DO(n)

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris P klasės apibrėžimas teisingas?

AUždaviniai, kuriems bet kuriame kompiuteryje reikia eksponentinio laiko
BSprendimo uždaviniai, kuriuos deterministinis algoritmas išsprendžia per polinominį laiką
CUždaviniai, kuriuos galima spręsti lygiagrečiai
DUždaviniai, kurių sprendinius galima patikrinti, bet niekada nerasti per polinominį laiką

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kurį abstraktųjį duomenų tipą Dijkstros algoritmas naudoja kitai apdorojamai viršūnei parinkti?

AFIFO eilę
BMin prioritetinę eilę
CSteką
DNesutvarkytą aibę

4.Duomenų struktūrosSunkus

Kokią garantiją raudonai juodo medžio taisyklės suteikia medžio su n raktų aukščiui?

AAukštis ne didesnis kaip 2 log₂(n + 1)
BAukštis lygiai log₂ n
CAukštis ne didesnis kaip log₂ n + 1
DAukštis ne didesnis kaip n / 2

5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 18 viršūnių ir 27 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 18|E| = 27

k =

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F

d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n²)

Kodėl tai yra atsakymas

Darbas susumuoja iki maždaug n² / 2; tai rikiavimo išrinkimu arba greitojo rikiavimo su blogiausiu atraminiu elementu rekurentinė lygtis.

Atsakymas

A · O(n²)

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Sprendimo uždaviniai, kuriuos deterministinis algoritmas išsprendžia per polinominį laiką

Kodėl tai yra atsakymas

P apima sprendimo uždavinius, turinčius deterministinį polinominio laiko algoritmą, pvz., patikrinimą, ar grafas jungus.

Atsakymas

B · Sprendimo uždaviniai, kuriuos deterministinis algoritmas išsprendžia per polinominį laiką

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Min prioritetinę eilę

Kodėl tai yra atsakymas

Min prioritetinė eilė, paprastai dvejetainė krūva, efektyviai grąžina neaplankytą viršūnę su mažiausiu atstumu.

Atsakymas

B · Min prioritetinę eilę

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Aukštis ne didesnis kaip 2 log₂(n + 1)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekviename kelyje yra vienodas juodų mazgų skaičius, o raudoni mazgai negali būti gretimi, todėl ilgiausias kelias daugiausia dvigubai ilgesnis už trumpiausią, ir aukštis yra O(log n).

Atsakymas

A · Aukštis ne didesnis kaip 2 log₂(n + 1)

5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 10

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

18 − 1 = 17

Pašalintinos briaunos

k = 27 − 17 = 10

Atsakymas

k = 10

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 27

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 13, C: 8

C (8): G: 17

B (13): D: 15

D (15): E: 26, F: 28

G (17): E: 21

E (21): F: 27

F (27)

Trumpiausias kelias

A → C → G → E → F

d(F) = 27

Atsakymas

d(F) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms