Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ar teisinga sakyti, kad O(n²) algoritmas yra ir O(n³)?

  1. ATaip, bet tik jei n mažesnis už 100
  2. BTaip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³
  3. CNe, nes didysis O visada turi nurodyti tikslų funkcijos augimo greitį
  4. DNe, nes dideliems n n³ mažesnis už n²
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris metodas užtikrina tikėtiną O(n log n) greitojo rikiavimo vykdymo laiką bet kokiems įvesties duomenims?

  1. AAtraminio elemento parinkimas atsitiktinai pagal tolygųjį skirstinį
  2. BRekursijos taikymas tik kairiajai pusei
  3. CĮvesties duomenų surikiavimas prieš paleidžiant greitąjį rikiavimą
  4. DVisada pirmojo elemento parinkimas
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia kaina įterpti elementą į n elementų masyvo vidurį?

  1. AO(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti
  2. BO(log n), dėl dvejetainės paieškos
  3. CO(n²), nes kiekvienas elementas pajuda n kartų
  4. DO(1), nes indeksas žinomas
4.Duomenų struktūrosSunkus

Dinaminis masyvas užsipildęs padvigubėja. Kodėl daugelis įgyvendinimų jį sumažina tik tada, kai jis užpildytas ketvirtadaliu, o ne perpus?

  1. ANes perpus mažinant esant pusei talpos būtų prarasti elementai
  2. BKad masyvas liktų surikiuotas
  3. CNes atminties paskirstytuvas gali atlaisvinti atmintį tik bloko ketvirtadaliais
  4. DKad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K8? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K8
H =
6.Grafų teorijaSunkus
14123134182ABCDE

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 4; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 4
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Taip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³

Kodėl tai yra atsakymas

Didysis O yra viršutinis rėžis, todėl teiginys teisingas, bet ne glaudus; Θ(n²) nurodo tikslų augimo greitį.

Atsakymas

B · Taip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Atraminio elemento parinkimas atsitiktinai pagal tolygųjį skirstinį

Kodėl tai yra atsakymas

Parenkant atsitiktinį atraminį elementą, tikėtinas vykdymo laikas yra O(n log n) bet kokiems įvesties duomenims; blogi atvejai vis dar egzistuoja, bet yra labai mažai tikėtini.

Atsakymas

A · Atraminio elemento parinkimas atsitiktinai pagal tolygųjį skirstinį
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · O(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti

Kodėl tai yra atsakymas

Visi elementai po įterpimo vietos pasislenka viena pozicija į dešinę, o tai užtrunka n proporcingą laiką.

Atsakymas

A · O(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Kad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos

Kodėl tai yra atsakymas

Mažinant esant pusei talpos, tokioje sekoje kiekviena operacija galėtų sukelti dydžio keitimą; tarpas tarp 1/4 ir pilnos talpos išlaiko amortizuotą kainą O(1).

Atsakymas

D · Kad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 2520

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Atsakymas

H = 2520
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BD

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. BE (2)
2. BC (3)
3. AC (12)
4. BD (13)

briaunos numeris 4

BD

Atsakymas

briauna BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms