Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuris algoritmas randa trumpiausius kelius iš vienos pradinės viršūnės grafe, kurio briaunų svoriai neneigiami?

  1. AVisais atvejais būtinas Belmano–Fordo algoritmas
  2. BKruskalo algoritmas
  3. CPaieška gilyn (DFS)
  4. DDijkstros algoritmas
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Paėmus abu kiekvienos maksimalaus poravimo (maximal matching) briaunos galus, gaunamas viršūnių denginys. Koks geras šis denginys?

  1. ADaugiausia log n kartų didesnis už minimalų
  2. BVisada minimalus viršūnių denginys
  3. CNežinomos kokybės, palyginti su optimaliu
  4. DDaugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį
3.Duomenų struktūrosVidutinis

AVL medžiai ir raudonai juodi medžiai garantuoja:

  1. AKad raktai saugomi įterpimo tvarka
  2. BKad nė vienas mazgas neturi dviejų vaikų
  3. CPastovaus laiko paiešką bet kokiu atveju
  4. DO(log n) aukštį perbalansavimo dėka
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kurias operacijas Fenwicko medis (binary indexed tree) n skaičių masyvui palaiko per O(log n)?

  1. AMasyvo rikiavimą ir dvejetainę paiešką
  2. BElementų įterpimą bet kurioje pozicijoje
  3. CPrefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus
  4. DMedianos radimą per O(1)
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 10 viršūnių ir 16 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 10|E| = 16
k =
6.Grafų teorijaSunkus
101181331218ABCDE

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Dijkstros algoritmas

Kodėl tai yra atsakymas

Dijkstros algoritmas veikia su neneigiamais svoriais; Belmano–Fordo algoritmas tinka ir neigiamiems svoriams; Kruskalo algoritmas sudaro minimalius jungiamuosius medžius.

Atsakymas

D · Dijkstros algoritmas
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Daugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį

Kodėl tai yra atsakymas

Poravimo briaunos neturi bendrų viršūnių, todėl optimaliam sprendiniui reikia bent vienos viršūnės kiekvienai briaunai, o šis metodas paima dvi: tai 2-aproksimacija.

Atsakymas

D · Daugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(log n) aukštį perbalansavimo dėka

Kodėl tai yra atsakymas

Savaime balansuojantys medžiai išlaiko logaritminį aukštį, todėl paieška, įterpimas ir šalinimas blogiausiu atveju yra O(log n).

Atsakymas

D · O(log n) aukštį perbalansavimo dėka
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Prefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus

Kodėl tai yra atsakymas

Fenwicko medis saugo dalines sumas intervaluose, kuriuos nusako kiekvieno indekso žemesnieji bitai, todėl ir prefiksų sumos, ir taškiniai atnaujinimai užtrunka O(log n).

Atsakymas

C · Prefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 7

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

10 − 1 = 9

Pašalintinos briaunos

k = 16 − 9 = 7

Atsakymas

k = 7
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 33

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

CE (3): imti
BC (8): imti
AB (10): imti
AC (11): praleisti, uždaro ciklą
DE (12): imti

Bendras svoris

W = 3 + 8 + 10 + 12 = 33

Atsakymas

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms