Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra šio kodo laiko sudėtingumas: for i = 1 to n: for j = 1 to i: atlikti O(1) darbą?

  1. AO(n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Topologinis rikiavimas galimas tik:

  1. ANekryptiniams grafams
  2. BPilniesiems grafams
  3. CGrafams su neigiamais svoriais
  4. DKryptiniams acikliniams grafams
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip dvejetainėje min krūvoje veikia extract-min?

  1. ANaujo minimumo ieškoma visuose lapuose
  2. BPašalinamas paskutinis masyvo elementas
  3. CPašalinama šaknis, o visi elementai pastumiami viena vieta į kairę
  4. DPaskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Struktūros union-find (nesikertančios aibės) su jungimu pagal rangą ir kelio suspaudimu amortizuota vienos operacijos kaina yra:

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi
  4. DTiksliai O(log n)
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
186141981721110ABCDEFG

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n²)

Kodėl tai yra atsakymas

Vidinis kūnas iš viso vykdomas n(n + 1) / 2 kartų, o tai vis tiek kvadratinis dydis.

Atsakymas

A · O(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Kryptiniams acikliniams grafams

Kodėl tai yra atsakymas

Topologinė tvarka egzistuoja tada ir tik tada, kai kryptinis grafas neturi ciklų; ją galima rasti per O(V + E) naudojant DFS arba Kano algoritmą.

Atsakymas

D · Kryptiniams acikliniams grafams
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Paskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)

Kodėl tai yra atsakymas

Paskutinis elementas užpildo tuščią vietą šaknyje ir keičiamas vietomis su mažesniuoju vaiku, kol galioja krūvos savybė; tai užtrunka O(log n).

Atsakymas

D · Paskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi

Kodėl tai yra atsakymas

Taikant abi optimizacijas, operacijos trunka O(α(n)) amortizuoto laiko; α(n) ≤ 4 bet kokiam realiam n.

Atsakymas

C · O(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Nelyginės viršūnės

B, D, E, F → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 44

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

CE (1): imti
GC (2): imti
BC (6): imti
EF (8): imti
DF (9): imti
GE (10): praleisti, uždaro ciklą
GD (11): praleisti, uždaro ciklą
BD (14): praleisti, uždaro ciklą
GB (17): praleisti, uždaro ciklą
AC (18): imti

Bendras svoris

W = 1 + 2 + 6 + 8 + 9 + 18 = 44

Atsakymas

W = 44

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms