Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ar teisinga sakyti, kad O(n²) algoritmas yra ir O(n³)?

ANe, nes dideliems n n³ mažesnis už n²
BNe, nes didysis O visada turi nurodyti tikslų funkcijos augimo greitį
CTaip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³
DTaip, bet tik jei n mažesnis už 100

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuo skiriasi neišsprendžiamas uždavinys nuo praktiškai neišsprendžiamo (intractable)?

ANeišsprendžiami uždaviniai priklauso NP, o praktiškai neišsprendžiami – P
BNeišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko
CPraktiškai neišsprendžiamų uždavinių negali išspręsti joks algoritmas, o neišsprendžiamiems reikia tik eksponentinio laiko
DAbu reiškia, kad uždavinys visai neturi algoritmo

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia sargybinio (fiktyvaus, sentinel) mazgo paskirtis susietajame sąraše?

ASupaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje
BNeleisti sąrašui augti virš nustatyto didžiausio mazgų skaičiaus
CSaugoti elementų skaičių
DPadaryti sąrašą surikiuotą

4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri savybė kiekvieną B medį išlaiko tobulai subalansuotą?

ARaktai saugomi tik šaknyje
BVisi lapai yra tame pačiame gylyje
CKiekvienas mazgas saugo vieną raktą
DKiekvienas mazgas turi lygiai du vaikus

5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 12 viršūnių ir 12 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 12|E| = 12

k =

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmas vykdomas nuo A. Spustelėkite viršūnę, užfiksuojamą (padaromą galutine) 3 etape; pats A yra 1 etapas.

pradžia: Aetapas 3

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Taip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³

Kodėl tai yra atsakymas

Didysis O yra viršutinis rėžis, todėl teiginys teisingas, bet ne glaudus; Θ(n²) nurodo tikslų augimo greitį.

Atsakymas

C · Taip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Neišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko

Kodėl tai yra atsakymas

Stabdymo problema visai neturi algoritmo; NP-sunkų uždavinį, pvz., TSP, galima išspręsti perrinkimu, tik ne per žinomą polinominį laiką.

Atsakymas

B · Neišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Supaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje

Kodėl tai yra atsakymas

Su sargybiniu kiekvienas tikras mazgas turi pirmtaką, todėl įterpimui ar šalinimui pradžioje nereikia specialaus apdorojimo.

Atsakymas

A · Supaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Visi lapai yra tame pačiame gylyje

Kodėl tai yra atsakymas

Užsipildę mazgai skyla aukštyn, o medis paaukštėja tik skylant šakniai, todėl visi lapai visada lieka tame pačiame lygmenyje.

Atsakymas

B · Visi lapai yra tame pačiame gylyje

5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 1

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

12 − 1 = 11

Pašalintinos briaunos

k = 12 − 11 = 1

Atsakymas

k = 1

6.Grafų teorija

Atsakymas: B

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

1. A (0): C: 14

2. C (14): B: 16, E: 19, G: 24

3. B (16): D: 25, G: 17

4. G (17)

5. E (19): F: 20

6. F (20): D: 21

7. D (21)

etapas 3

Atsakymas

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms