Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Godusis algoritmas:

  1. AVisada pateikia optimalų sprendinį
  2. BIšbando kiekvieną galimą sprendinį
  3. CKiekviename žingsnyje priima lokaliai geriausią sprendimą
  4. DNaudoja tik rekursiją
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Koks yra šio kodo laiko sudėtingumas: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) atlikti O(1) darbą?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip rasti mažiausią raktą dvejetainiame paieškos medyje?

  1. ANuo šaknies eiti dešiniaisiais vaikais, kol nebėra dešiniojo vaiko
  2. BPažiūrėti tik į šaknį
  3. CNuo šaknies eiti kairiaisiais vaikais, kol nebėra kairiojo vaiko
  4. DAplankyti kiekvieną lapą ir juos palyginti
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl maišos lentelėje su atviruoju adresavimu šalinimas dažnai atliekamas naudojant „antkapio“ (tombstone) žymę?

  1. AIštuštinus vietą, galėtų nutrūkti kitų raktų zondavimo seka
  2. BAntkapiai pagreitina maišymą
  3. CDėl to lentelė tampa surikiuota
  4. DPašalinti raktai saugumo sumetimais turi būti laikomi amžinai, todėl vietų niekada negalima naudoti pakartotinai
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 20 viršūnių ir 23 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 20|E| = 23
k =
6.Grafų teorijaSunkus
1516943617ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Kiekviename žingsnyje priima lokaliai geriausią sprendimą

Kodėl tai yra atsakymas

Godieji algoritmai yra greiti ir kai kuriems uždaviniams optimalūs (pvz., Dijkstros algoritmas, Hafmano kodavimas), bet ne bendruoju atveju (pvz., grąžos atidavimo uždavinys su kai kuriomis monetų sistemomis).

Atsakymas

C · Kiekviename žingsnyje priima lokaliai geriausią sprendimą
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Iš viso gaunama n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, o harmoninis skaičius Hn yra Θ(log n).

Atsakymas

D · O(n log n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Nuo šaknies eiti kairiaisiais vaikais, kol nebėra kairiojo vaiko

Kodėl tai yra atsakymas

Kairiausias mazgas medyje neturi mažesnio rakto, todėl jis yra minimumas; kaina proporcinga aukščiui.

Atsakymas

C · Nuo šaknies eiti kairiaisiais vaikais, kol nebėra kairiojo vaiko
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Ištuštinus vietą, galėtų nutrūkti kitų raktų zondavimo seka

Kodėl tai yra atsakymas

Jei pašalinta vieta taptų tuščia, vėlesnės paieškos galėtų sustoti per anksti ir praleisti raktus, patalpintus toliau zondavimo grandinėje.

Atsakymas

A · Ištuštinus vietą, galėtų nutrūkti kitų raktų zondavimo seka
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 4

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

20 − 1 = 19

Pašalintinos briaunos

k = 23 − 19 = 4

Atsakymas

k = 4
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 22

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

AB (1): imti
DF (3): imti
DE (4): imti
AC (5): imti
EF (6): praleisti, uždaro ciklą
CE (9): imti

Bendras svoris

W = 1 + 3 + 4 + 5 + 9 = 22

Atsakymas

W = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms