Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Greitasis rikiavimas visada kaip atraminį elementą naudoja pirmąjį elementą. Su kokia įvestimi jis elgiasi blogiausiai?

ASu masyvu, kurio visi elementai skirtingi
BSu 2 ilgio masyvu
CSu jau surikiuotu masyvu
DSu atsitiktinės tvarkos masyvu

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl dvejetainė paieška vienkrypčiame susietajame sąraše neužtikrina O(log n) laiko?

ASusietojo sąrašo mazgų palyginimai lėtesni
BDvejetainei paieškai reikia bent dvigubai daugiau atminties
CIki vidurinio elemento nueiti reikia O(n) žingsnių, nes nėra tiesioginės prieigos pagal indeksą
DSusietųjų sąrašų negalima surikiuoti

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip naujas elementas įterpiamas į dvejetainę krūvą?

AVisa krūva perstatoma iš naujo
BPadedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę
CPadedamas šaknyje ir leidžiamas žemyn
DĮterpiamas į surikiuotą poziciją, pastumiant visus didesnius elementus viena vieta į dešinę

4.Duomenų struktūrosSunkus

Bloomo filtras į klausimą „ar šis elementas yra aibėje?“ gali atsakyti:

AVisada tiksliai
BSu galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų
CSu galimais klaidingai neigiamais, bet be klaidingai teigiamų atsakymų
DTik skaičiams

5.Grafų teorijaVidutinis

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 8

1Oilerio ciklas
2Oilerio kelias, ne ciklas
3nei viena

6.Grafų teorijaSunkus

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 7|E| = 9

W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Su jau surikiuotu masyvu

Kodėl tai yra atsakymas

Surikiuotoje įvestyje atraminis elementas visada yra minimumas, todėl viena pusė tuščia, o kitoje n − 1 elementų, ir gaunama O(n²).

Atsakymas

C · Su jau surikiuotu masyvu

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Iki vidurinio elemento nueiti reikia O(n) žingsnių, nes nėra tiesioginės prieigos pagal indeksą

Kodėl tai yra atsakymas

Dvejetainei paieškai reikia O(1) prieigos prie vidurio; susietajame sąraše ėjimas iki jo kainuoja tiesinį laiką, todėl iš viso gaunama O(n).

Atsakymas

C · Iki vidurinio elemento nueiti reikia O(n) žingsnių, nes nėra tiesioginės prieigos pagal indeksą

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Padedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę

Kodėl tai yra atsakymas

Pridėjimas gale išlaiko medį pilną; keitimasis vietomis su tėvu atkuria tvarką per O(log n) žingsnių.

Atsakymas

B · Padedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Su galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų

Kodėl tai yra atsakymas

Jei bet kuris elemento bitas lygus 0, elemento tikrai nėra; jei visi lygūs 1, jis tikriausiai yra. Bloomo filtrai iškeičia tikslumą į labai mažą atminties sąnaudą.

Atsakymas

B · Su galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų

5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Nelyginės viršūnės

F, G → 2

Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 28

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

GE (1): imti

GC (2): imti

DE (4): imti

GB (5): imti

DF (6): imti

EF (8): praleisti, uždaro ciklą

AB (10): imti

Bendras svoris

W = 1 + 2 + 4 + 5 + 6 + 10 = 28

Atsakymas

W = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms