Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra LSD pozicinio rikiavimo (radix sort) vykdymo laikas n sveikųjų skaičių, turinčių d skaitmenų k pagrindo sistemoje?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(dn log k)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris rėžis teisingas log(n!)?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(log n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kodėl masyvo apėjimas praktikoje dažnai daug greitesnis nei tokio pat ilgio susietojo sąrašo apėjimas?

  1. AMasyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)
  2. BSusietieji sąrašai visada saugo elementus diske
  3. CMasyvo apėjimas iš viso yra O(1), o susietojo sąrašo – O(n)
  4. DMasyvai reikšmėms palyginti naudoja mažiau instrukcijų
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kaip naudojant O(1) papildomos atminties nustatyti, ar vienkrypčiame susietajame sąraše yra ciklas?

  1. ASkaičiuoti mazgus, kol skaičius viršys sąrašo ilgio lauką
  2. BSurikiuoti sąrašą ir ieškoti pasikartojimų
  3. CKiekvieną aplankytą mazgą saugoti maišos aibėje
  4. DVieną rodyklę stumti vienu žingsniu, kitą – dviem ir tikrinti, ar jos susitinka
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
157121510124159810ABCDEFG

Dijkstros algoritmas vykdomas nuo A. Spustelėkite viršūnę, užfiksuojamą (padaromą galutine) 3 etape; pats A yra 1 etapas.

pradžia: Aetapas 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(d(n + k))

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas iš d perėjimų yra rikiavimas skaičiavimu, kainuojantis O(n + k), todėl esant fiksuotiems d ir k bendras laikas tiesinis n atžvilgiu.

Atsakymas

A · O(d(n + k))
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Θ(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

log(n!) ≤ n log n, o didžiausi n / 2 daugiklių duoda log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); todėl rikiavimui palyginimais reikia Ω(n log n).

Atsakymas

C · Θ(n log n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Masyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)

Kodėl tai yra atsakymas

Vientisa atmintis užtikrina gerą kreipčių lokalumą, o susieti mazgai gali būti išbarstyti ir sukelti daug podėlio praleidimų.

Atsakymas

A · Masyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Vieną rodyklę stumti vienu žingsniu, kitą – dviem ir tikrinti, ar jos susitinka

Kodėl tai yra atsakymas

Floydo algoritme, jei yra ciklas, greitoji rodyklė galiausiai pasiveja lėtąją; kitu atveju greitoji rodyklė pasiekia null.

Atsakymas

D · Vieną rodyklę stumti vienu žingsniu, kitą – dviem ir tikrinti, ar jos susitinka
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 1

Nelyginės viršūnės

B, C, D, E → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: B

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

1. A (0): C: 15
2. C (15): B: 22, E: 30, G: 24
3. B (22): D: 34
4. G (24): D: 32
5. E (30): F: 34
6. D (32)
7. F (34)

etapas 3

B

Atsakymas

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms