Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ką reiškia, kad uždavinys turi optimalią struktūrą (optimal substructure)?

  1. AVisi daliniai uždaviniai yra vienodo dydžio
  2. BUždavinį galima išspręsti per pastovų laiką
  3. CUždavinys turi lygiai vieną optimalų sprendinį, kurį bendrai turi visi dalinių uždavinių sprendiniai
  4. DOptimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Uždavinys yra NP-pilnas, jei jis:

  1. AIšsprendžiamas per polinominį laiką
  2. BNepriklauso NP, bet yra sunkesnis už visus NP uždavinius, pvz., sustojimo problema
  3. CPriklauso NP ir kiekvienas NP uždavinys į jį redukuojamas per polinominį laiką
  4. DNeišsprendžiamas
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Programai reikia greitos paieškos, taip pat reikia išvardyti raktus surikiuota tvarka ir atsakyti į intervalų užklausas. Kuri struktūra tinka geriausiai?

  1. AMaišos lentelė
  2. BSubalansuotas dvejetainis paieškos medis
  3. CNesurikiuotas susietasis sąrašas
  4. DStekas
4.Duomenų struktūrosSunkus

Dinaminis masyvas užsipildęs padvigubėja. Kodėl daugelis įgyvendinimų jį sumažina tik tada, kai jis užpildytas ketvirtadaliu, o ne perpus?

  1. ANes atminties paskirstytuvas gali atlaisvinti atmintį tik bloko ketvirtadaliais
  2. BKad masyvas liktų surikiuotas
  3. CNes perpus mažinant esant pusei talpos būtų prarasti elementai
  4. DKad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFGOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
1311411713158ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki E svertiniame grafe ilgį d(E).

pradžia: Apabaiga: E
d(E) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Optimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių

Kodėl tai yra atsakymas

Optimali struktūra būtina, kad ir godieji algoritmai, ir dinaminis programavimas duotų teisingus atsakymus.

Atsakymas

D · Optimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Priklauso NP ir kiekvienas NP uždavinys į jį redukuojamas per polinominį laiką

Kodėl tai yra atsakymas

NP-pilni uždaviniai yra sunkiausi NP klasėje; polinominis algoritmas vienam iš jų duotų polinominį algoritmą visai NP klasei.

Atsakymas

C · Priklauso NP ir kiekvienas NP uždavinys į jį redukuojamas per polinominį laiką
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Subalansuotas dvejetainis paieškos medis

Kodėl tai yra atsakymas

Subalansuotas DPM užtikrina O(log n) paiešką ir laiko raktus sutvarkytus, todėl in-order apėjimas ir intervalų užklausos paprastos; maišos lentelė raktus išbarsto.

Atsakymas

B · Subalansuotas dvejetainis paieškos medis
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Kad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos

Kodėl tai yra atsakymas

Mažinant esant pusei talpos, tokioje sekoje kiekviena operacija galėtų sukelti dydžio keitimą; tarpas tarp 1/4 ir pilnos talpos išlaiko amortizuotą kainą O(1).

Atsakymas

D · Kad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Nelyginės viršūnės

B, C, D, F → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(E) = 21

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 13, C: 11
C (11)
B (13): D: 24, E: 21
E (21): F: 36
D (24)
F (36)

Trumpiausias kelias

A → B → E
d(E) = 21

Atsakymas

d(E) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms