Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kiek lygmenų turi rikiavimo suliejimu rekursija n elementų masyvui?

  1. AApie √n
  2. BApie n
  3. CApie log₂ n
  4. DApie n / 2
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl dvejetainė paieška vienkrypčiame susietajame sąraše neužtikrina O(log n) laiko?

  1. AIki vidurinio elemento nueiti reikia O(n) žingsnių, nes nėra tiesioginės prieigos pagal indeksą
  2. BSusietųjų sąrašų negalima surikiuoti
  3. CDvejetainei paieškai reikia bent dvigubai daugiau atminties
  4. DSusietojo sąrašo mazgų palyginimai lėtesni
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip naujas elementas įterpiamas į dvejetainę krūvą?

  1. APadedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę
  2. BĮterpiamas į surikiuotą poziciją, pastumiant visus didesnius elementus viena vieta į dešinę
  3. CPadedamas šaknyje ir leidžiamas žemyn
  4. DVisa krūva perstatoma iš naujo
4.Duomenų struktūrosSunkus

Operacijos decrease-key dvejetainėje krūvoje (žinant elemento poziciją) laiko sudėtingumas yra:

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n log n)
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 5, 2 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 52 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
51617831311ABCDE

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės B. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 3.

pradžia: Bk = 3
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Apie log₂ n

Kodėl tai yra atsakymas

Dalijant pusiau nuo n iki 1, reikia apie log₂ n lygmenų, o kiekviename lygmenyje atliekama O(n) suliejimo darbo, todėl gaunama O(n log n).

Atsakymas

C · Apie log₂ n
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Iki vidurinio elemento nueiti reikia O(n) žingsnių, nes nėra tiesioginės prieigos pagal indeksą

Kodėl tai yra atsakymas

Dvejetainei paieškai reikia O(1) prieigos prie vidurio; susietajame sąraše ėjimas iki jo kainuoja tiesinį laiką, todėl iš viso gaunama O(n).

Atsakymas

A · Iki vidurinio elemento nueiti reikia O(n) žingsnių, nes nėra tiesioginės prieigos pagal indeksą
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Padedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę

Kodėl tai yra atsakymas

Pridėjimas gale išlaiko medį pilną; keitimasis vietomis su tėvu atkuria tvarką per O(log n) žingsnių.

Atsakymas

A · Padedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Sumažinus raktą, elementas kyla aukštyn ne daugiau nei krūvos aukštis. Fibonačio krūvos pasiekia O(1) amortizuotą decrease-key.

Atsakymas

B · O(log n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 8

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 14 = 2(L + 4) − 2
L = 8

Atsakymas

L = 8

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BE

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. AB (5)
2. BD (8)
3. BE (11)
4. CE (3)

briaunos numeris 3

BE

Atsakymas

briauna BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms