Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Paieška platyn nesvoriniame grafe randa:

  1. AMinimalų jungiamąjį medį
  2. BTrumpiausius kelius (pagal briaunų skaičių) nuo pradinės viršūnės
  3. CTrumpiausius kelius grafuose, turinčiuose neigiamų briaunų svorių
  4. DTopologinę tvarką bet kuriame grafe
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Uždavinys yra NP-pilnas, jei jis:

  1. APriklauso NP ir kiekvienas NP uždavinys į jį redukuojamas per polinominį laiką
  2. BNeišsprendžiamas
  3. CNepriklauso NP, bet yra sunkesnis už visus NP uždavinius, pvz., sustojimo problema
  4. DIšsprendžiamas per polinominį laiką
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kodėl masyvo apėjimas praktikoje dažnai daug greitesnis nei tokio pat ilgio susietojo sąrašo apėjimas?

  1. AMasyvo apėjimas iš viso yra O(1), o susietojo sąrašo – O(n)
  2. BSusietieji sąrašai visada saugo elementus diske
  3. CMasyvai reikšmėms palyginti naudoja mažiau instrukcijų
  4. DMasyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl maišos lentelėje su atviruoju adresavimu šalinimas dažnai atliekamas naudojant „antkapio“ (tombstone) žymę?

  1. APašalinti raktai saugumo sumetimais turi būti laikomi amžinai, todėl vietų niekada negalima naudoti pakartotinai
  2. BIštuštinus vietą, galėtų nutrūkti kitų raktų zondavimo seka
  3. CAntkapiai pagreitina maišymą
  4. DDėl to lentelė tampa surikiuota
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
7211143131152ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Trumpiausius kelius (pagal briaunų skaičių) nuo pradinės viršūnės

Kodėl tai yra atsakymas

BFS aplanko viršūnes pagal atstumą (briaunomis) nuo pradinės viršūnės, todėl per O(V + E) randa trumpiausius kelius nesvoriniame grafe.

Atsakymas

B · Trumpiausius kelius (pagal briaunų skaičių) nuo pradinės viršūnės
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Priklauso NP ir kiekvienas NP uždavinys į jį redukuojamas per polinominį laiką

Kodėl tai yra atsakymas

NP-pilni uždaviniai yra sunkiausi NP klasėje; polinominis algoritmas vienam iš jų duotų polinominį algoritmą visai NP klasei.

Atsakymas

A · Priklauso NP ir kiekvienas NP uždavinys į jį redukuojamas per polinominį laiką
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Masyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)

Kodėl tai yra atsakymas

Vientisa atmintis užtikrina gerą kreipčių lokalumą, o susieti mazgai gali būti išbarstyti ir sukelti daug podėlio praleidimų.

Atsakymas

D · Masyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Ištuštinus vietą, galėtų nutrūkti kitų raktų zondavimo seka

Kodėl tai yra atsakymas

Jei pašalinta vieta taptų tuščia, vėlesnės paieškos galėtų sustoti per anksti ir praleisti raktus, patalpintus toliau zondavimo grandinėje.

Atsakymas

B · Ištuštinus vietą, galėtų nutrūkti kitų raktų zondavimo seka
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 1

Nelyginės viršūnės

B, C, D, E → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 10

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 7, C: 2
C (2): E: 5
E (5): D: 18, F: 10
B (7)
F (10)
D (18)

Trumpiausias kelias

A → C → E → F
d(F) = 10

Atsakymas

d(F) = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms