Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = T(n/2) + O(1) sprendinys?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Topologinis rikiavimas galimas tik:

  1. AKryptiniams acikliniams grafams
  2. BNekryptiniams grafams
  3. CPilniesiems grafams
  4. DGrafams su neigiamais svoriais
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kurį abstraktųjį duomenų tipą Dijkstros algoritmas naudoja kitai apdorojamai viršūnei parinkti?

  1. AMin prioritetinę eilę
  2. BFIFO eilę
  3. CSteką
  4. DNesutvarkytą aibę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Segmentų medis (segment tree) paprastai naudojamas:

  1. AStekui įgyvendinti
  2. BGrafo briaunoms saugoti
  3. CEilutėms rikiuoti abėcėlės tvarka, saugant kiekvieną prefiksą atskirame medžio mazge
  4. DAtsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 4, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 4
L =
6.Grafų teorijaSunkus
1015133169188ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekviename žingsnyje uždavinys sumažėja perpus, o darbas viename žingsnyje pastovus, todėl žingsnių yra apie log₂ n.

Atsakymas

B · O(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Kryptiniams acikliniams grafams

Kodėl tai yra atsakymas

Topologinė tvarka egzistuoja tada ir tik tada, kai kryptinis grafas neturi ciklų; ją galima rasti per O(V + E) naudojant DFS arba Kano algoritmą.

Atsakymas

A · Kryptiniams acikliniams grafams
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Min prioritetinę eilę

Kodėl tai yra atsakymas

Min prioritetinė eilė, paprastai dvejetainė krūva, efektyviai grąžina neaplankytą viršūnę su mažiausiu atstumu.

Atsakymas

A · Min prioritetinę eilę
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Segmentų medis saugo intervalų agregatus ir palaiko intervalų užklausas bei taškinius atnaujinimus per O(log n) laiko.

Atsakymas

D · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 6

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 8 = 2(L + 2) − 2
L = 6

Atsakymas

L = 6

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 52

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

BD (3): imti
BE (8): imti
DE (9): praleisti, uždaro ciklą
AB (10): imti
BC (13): imti
AC (15): praleisti, uždaro ciklą
CE (16): praleisti, uždaro ciklą
DF (18): imti

Bendras svoris

W = 3 + 8 + 10 + 13 + 18 = 52

Atsakymas

W = 52

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms